Оценка ошибки, возникающей при аппроксимации произвольного сигнала рядом Котельникова

Качественную оценку ошибки можно провести, исходя из того, что функция вида обращается в ноль во всех отсчетных точках, кроме точек , в которых и совпадают и, следовательно, ошибка А наибольшего значения ошибка достигает в середине между отсчетными точками.

Если – произвольный сигнал с ограниченным спектром, то его можно представить суммой двух сигналов где – сигнал со спектром, ограниченным – сигнал ошибки, занимающий полосы , .

Спектры сигналов внутри полосы и вне этой полосы не перекрываются (рис.2.33), следовательно, они ортогональны, а их энергии (квадраты норм) складываются.

Рис.2.33 Спектральная плотность сигнала

В то же время – есть мера отклонения исходного сигнала от его аппроксимации рядом Котельникова .

Из обобщенной формулы Релея для случая следует

Величина известна как спектральная плотность энергии сигнала, следовательно, энергия сигнала ошибки равна

Норма сигнала ошибки выражается формулой

(2.15)

а энергия произвольного сигнала имеет вид

(2.16)