Ортогональные низкочастотные сигналы

Рассмотрим два идеальных низкочастотных сигнала , обладающих одинаковым спектром, но сдвинутых между собой на некоторый отрезок времени (рис.2.31).

Рис.2.31

Их спектральные плотности связаны соотношением: , при этом .

С использованием формулы Рэлея скалярное произведение сигналов принимает вид

(2.5)

и обращается в ноль при условии Следовательно, идеальные низкочастотные сигналы ортогональны, если они сдвинутые между собой на время

(2.6)

Минимальный сдвиг по времени для ортогональных идеальных низкочастотных сигналов:

2.4.2 Теорема Котельникова – Шеннона

Полученные результаты легко распространить на идеальные низкочастотные сигналы более общего вида со спектральной плотностью в полосе частот, ограниченной .

Математическая модель подобного сигнала примет вид

(2.7)

Сигналы (2.74) при выполнении (2.73) можно использовать для построения ортонормированного базиса

Норма каждого элемента базиса удовлетворяет условию , в том числе при , т.е.

откуда .

Т.о. ортонормированный базис в линейном пространстве сигналов с ограниченным спектром

(2.8)

Ряд Котельникова – Шеннона

Произвольный сигнал со спектром, ограниченным сверху , можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису (2.8)

(2.9)

где коэффициенты ряда являются скалярными произведениями исследуемого сигнала и соответствующей базисной функции

(2.10)

Для вычисления коэффициентов вновь воспользуемся формулой Рэлея . Спектральная плотность базисной функции равна

Тогда (2.10) запишется в виде

(2.11)

Выражение в круглых скобках (2.11) является мгновенным значением сигнала в отсчетной точке

Тогда

(2.12)

а ряд Котельникова – Шеннона примет вид

(2.13)

Теорема Котельникова – Шеннона.

Произвольный сигнал, спектр которого ограничен сверху частотой , может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени .

На практике при использовании теоремы возникают погрешности представления рядом (2.13), а точное разложение сигнала с ограниченным спектром на конечном отрезке времени Т заменяется приближенным

(2.14)

где - целая часть отношения длительности сигнала к минимальному интервалу разбиения , .

Пример. Прямоугольный видеоимпульс с длительностью и амплитудой (рис.2.32) является сигналом с неограниченным спектром, который убывает достаточно быстро ().

Рис.2.32

Случай 1 º. Производится выборка двумя отсчетами, в начале и в конце импульса (). Минимальный интервал разбиения , поэтому учитываются частоты вплоть до , следовательно

Число отсчетных функций – две, их амплитуды

.

Случай 2º. Три равностоящих отсчета (). Здесь учитываются частоты вплоть до , т.к.

.

Очевидно, что погрешность будет тем больше, чем меньше число отсчетов используется для восстановления исходного сигнала.