Некоторые свойства спектральных плотностей и сигналов

1⁰. Сигнал сдвинут во времени

Если , то

(1.44)

т.е., амплитуда гармоник не зависит от положения сигнала на оси времени. Информация заключена в фазовом угле спектральной плотности.

2⁰. Если , то – четная, а – нечетная функция.

3⁰. Сжатие и растяжение сигнала во времени

(1.45)

Спектральная плотность «зеркальной копии» сигнала

(1.46)

4⁰. Дифференцирование сигнала.

(1.47)

5⁰. Интегрирование сигнала.

(1.48)

6⁰. Пусть тогда

при этом – свертка в частотной области.

Если то

– свертка во временной области.

7⁰. Формула Релея:

Для доказательства формулы Рэлея рассмотрим два сигнала Выразим их с помощью обратного преобразования Фурье

Найдем скалярное произведение и проведем очевидные преобразования

- что и требовалось доказать.

(1.49)