Обобщенный ряд Фурье

Пусть задан произвольный ортонормированный базис . Разложим произвольный сигнал в ряд

(1.20)

– обобщенный ряд Фурье, в котором коэффициенты

(1.21)

являются проекциями сигнала на базисные сигналы .

Выражение для коэффициентов ряда определяются из (1.20) умножением обеих частей равенства на е_k и интегрированием в пределах [ t₁, t₂ ].

Представление сигнала обобщенным рядом Фурье позволяет изучение зависимости на несчетном множестве точек заменить изучением характеристик сигналов в виде коэффициентов Фурье (счетное множество).

Энергия сигнала в соответствии с (1.20) приобретает вид

т.е. является суммой энергий всех составляющих обобщенного ряда Фурье.

Оптимальность разложения u(t) в конечный ряд

проверяется по величине энергии ошибки аппроксимации:

Система базисных функций ортогональна, поэтому

	(1.22)

а т.к. то, несложные выкладки приводят к результатам

позволяющим определить коэффициент обобщенного ряда Фурье:

Пространство сигналов является гильбертовым и полным, т.е.

Тогда снизить норму ошибки можно выбрав N достаточно большим.