Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Метод вариации постоянных для решения неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков.






    Данные уравнения имеют вид

    где a1, a2,..., an − действительные или комплексные числа, а правая часть f(x) является непрерывной функцией на некотором отрезке [a, b].

    Используя линейный дифференциальный оператор L(D), равный

    неоднородное дифференциальное уравнение можно записать в виде

    Общее решение y(x) неоднородного уравнения представляется в виде суммы общего решения y0(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:

    При произвольной правой части f(x) для поиска общего решения неоднородного уравнения используется метод вариации постоянных. В случае, если правая часть представляет собой произведение многочлена и экспоненциальной функции, частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов.

    Метод вариации постоянных

    Предположим, что общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка известно и представляется формулой

    Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) заключается в том, что вместо постоянных чисел C1, C2,..., Cn мы рассматриваем функции C1(x), C2(x),..., Cn(x). Эти функции подбираются таким образом, чтобы решение

    удовлетворяло исходному неоднородному уравнению.

    Производные n неизвестных функций C1(x), C2(x),..., Cn(x) определяются из системы n уравнений:

    Определителем этой системы является вронскиан функций Y1, Y2,..., Yn, образующих фундаментальную систему решений. В силу линейной независимости этих функций определитель не равен нулю и данная система однозначно разрешима. Окончательные выражения для функций C1(x), C2(x),..., Cn(x) находятся в результате интегрирования.

    Найти общее решение дифференциального уравнения y''' + 3y'' − 10y' = x − 3.


    Решение.

    Сначала найдем общее решение однородного уравнения

    Вычислим корни характеристического уравнения:

    Следовательно,

    Общее решение однородного уравнения имеет вид:

    где C1, C2, C3 − произвольные числа.

    В правой части уравнения содержится лишь многочлен. Однако, если учесть, что exp(0) = 1, то видно, что на самом деле мы имеем резонансный случай (в замаскированном виде), поскольку один из корней характеристического уравнения также равен нулю: λ 1 = 0. Поэтому частное решение будем искать в виде

    Подставляем производные

    в неоднородное уравнение и определяем коэффициенты A, B:

    Частное решение y1 записывается как

    Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения выражается формулой

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.