💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Метод вариации постоянных для решения неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков.

Данные уравнения имеют вид

где a1, a2,..., an − действительные или комплексные числа, а правая часть f(x) является непрерывной функцией на некотором отрезке [a, b].

Используя линейный дифференциальный оператор L(D), равный

неоднородное дифференциальное уравнение можно записать в виде

Общее решение y(x) неоднородного уравнения представляется в виде суммы общего решения y0(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:

При произвольной правой части f(x) для поиска общего решения неоднородного уравнения используется метод вариации постоянных. В случае, если правая часть представляет собой произведение многочлена и экспоненциальной функции, частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов.

Метод вариации постоянных

Предположим, что общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка известно и представляется формулой

Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) заключается в том, что вместо постоянных чисел C1, C2,..., Cn мы рассматриваем функции C1(x), C2(x),..., Cn(x). Эти функции подбираются таким образом, чтобы решение

удовлетворяло исходному неоднородному уравнению.

Производные n неизвестных функций C1(x), C2(x),..., Cn(x) определяются из системы n уравнений:

Определителем этой системы является вронскиан функций Y1, Y2,..., Yn, образующих фундаментальную систему решений. В силу линейной независимости этих функций определитель не равен нулю и данная система однозначно разрешима. Окончательные выражения для функций C1(x), C2(x),..., Cn(x) находятся в результате интегрирования.

Найти общее решение дифференциального уравнения y''' + 3y'' − 10y' = x − 3.

Решение.

Сначала найдем общее решение однородного уравнения

Вычислим корни характеристического уравнения:

Следовательно,

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

где C1, C2, C3 − произвольные числа.

В правой части уравнения содержится лишь многочлен. Однако, если учесть, что exp(0) = 1, то видно, что на самом деле мы имеем резонансный случай (в замаскированном виде), поскольку один из корней характеристического уравнения также равен нулю: λ 1 = 0. Поэтому частное решение будем искать в виде

Подставляем производные

в неоднородное уравнение и определяем коэффициенты A, B:

Частное решение y1 записывается как

Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения выражается формулой