Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Производная ФКП. Условия Коши-Римана. Аналитические функции.
Понятие функции комплексной переменной Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной: Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа. В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично: Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении. Чем отличается функция комплексной переменной? Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт: Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной Функцию комплексной переменной можно записать в виде: Функция называется действительной частью функции . То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры: Пример 1 Найти действительную и мнимую часть функции Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому: (1) В исходную функцию подставили . (2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки. (3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что (4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно). (5) У второй группы выносим за скобки. В результате наша функция оказалась представлена в виде Ответ: Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные. Без пощады – находить будем. Но чуть позже. Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть). Пример 2 Найти действительную и мнимую часть функции Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме: БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите! Полное решение и ответ в конце урока. Чтобы дальше легче жилось, обратим внимание на пару полезных формул. В Примере 1 было выяснено, что . Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем: Рекомендую переписать в тетрадь две рабочие формулы: Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.
Дифференцирование функций комплексной переменной. У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной . Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками. Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно: 1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: . 2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана: Только в этом случае будет существовать производная! Пример 3 Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции. Решение раскладывается на три последовательных этапа: 1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев: Так как , то: Таким образом: Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: . 3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два. Начнем с проверки условия . Находим частные производные: Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые. Проверяем выполнение второго условия : Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема. 3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам: Мнимая единица при дифференцировании считается константой. Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
|