Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Однородные относительно аргумента и искомой функции дифференциальные уравнения первого порядка. Их решение.
Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения. Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения. Решение. , что и требовалось доказать. Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду . Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать. Определение 2. Уравнение (4.1) в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным. Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду (4.2), хотя для его решения можно этого и не делать. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: или или . Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x) , который после повторной замены дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: . Замечание.Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановкуx=zy.
|