Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Ряды Фурье для четных и нечетных функций.




Функция y=f(x) называется четной, если выполнено условие:

 

 

График четной функции симметричен относительно оси Oy. Например, функция - четная.

Функция y=f(x) называется нечетной, если выполнено условие:

 

 

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функция - нечетная.

Теорема. Если функция y=f(x) четная с периодом T=2p, то

 

(1)

 

Доказательство

 

 

Функция y=f(x)cos nx четная. Введем для первого интеграла замену:

 

 

Аналогично, функция y=f(x)sin nx нечетная. С помощью той же замены получим:

 

 

Можно сформулировать это правило так: четная периодическая функция разлагается в ряд по четным гармоническим функциям, нечетная функция по нечетным.

Теорема. Если функция y=f(x) нечетная с периодом T=2p, то

 

(2)

 

Доказательство проводится аналогично. Разобрать самостоятельно. Можно сформулировать это правило так: четная периодическая функция разлагается в ряд по четным гармоническим функциям, нечетная функция по нечетным.

Пример. Найти разложение в ряд Фурье функции 2p- периодической функции, которая равна y=x на (-p,p). Изобразим график функции

Так как функция нечетная, то an=0. Коэффициенты

 

 

Применим для вычисления формулу интегрирования по частям

 

 

Получаем

 

 

Разложение имеет вид

 

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.012 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал