Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Ряды Фурье для четных и нечетных функций.






    Функция y=f(x) называется четной, если выполнено условие:

     

     

    График четной функции симметричен относительно оси Oy. Например, функция - четная.

    Функция y=f(x) называется нечетной, если выполнено условие:

     

     

    График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функция - нечетная.

    Теорема. Если функция y=f(x) четная с периодом T=2p, то

     

    (1)

     

    Доказательство

     

     

    Функция y=f(x)cos nx четная. Введем для первого интеграла замену:

     

     

    Аналогично, функция y=f(x)sin nx нечетная. С помощью той же замены получим:

     

     

    Можно сформулировать это правило так: четная периодическая функция разлагается в ряд по четным гармоническим функциям, нечетная функция по нечетным.

    Теорема. Если функция y=f(x) нечетная с периодом T=2p, то

     

    (2)

     

    Доказательство проводится аналогично. Разобрать самостоятельно. Можно сформулировать это правило так: четная периодическая функция разлагается в ряд по четным гармоническим функциям, нечетная функция по нечетным.

    Пример. Найти разложение в ряд Фурье функции 2p- периодической функции, которая равна y=x на (-p, p). Изобразим график функции

    Так как функция нечетная, то an=0. Коэффициенты

     

     

    Применим для вычисления формулу интегрирования по частям

     

     

    Получаем

     

     

    Разложение имеет вид

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.