Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.




Рассмотрим важный класс рядов, называемый знакочередующимися.

Определение.Знакочередующимся рядомназывается ряд вида

u1 – u2 + u3 - u4 +…+(-1) un +...,

где u1,u2,u3...,- положительные для всех n N.

 

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА). Знакочередующийся ряд

u1 – u2 + u3 - u4 +… (un>0), (4.1)

сходится,еслипоследовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает,т.е. u1>u2>u3>… (4.2)

и если un=0 (4.3)

при этом сумма S ряда(4.1) удовлетворяет неравенствам 0<S <u1.

Для остатка ряда в этом случае справедлива оценка .

 

ПРИМЕР.Исследовать сходимость ряда:

Имеем:1>1/4>1/9>...– члены ряда монотонно убывают и =0.

По Теореме Лейбница ряд сходится.

 

Замечание: В Т.Лейбница важны как условие un=0 , так и u1>u2>u3>...

Например,для ряда un=0 ,но условие

1/ 0,41>1/2,41 >1/1,73 >1/2,73... или

2,44>0,41>0,58>0,37... неверно и ряд расходится.

ПРИМЕР.Вычислить приблизительно сумму ряда .

Имеем знакочередующийся ряд ,сходится.Возьмем пять элементов этого ряда:

,

Вычислим ошибку: ; итак, .


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.004 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал