Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
|
|
Рассмотрим важный класс рядов, называемый знакочередующимися.
Определение.Знакочередующимся рядомназывается ряд вида
u1 – u2 + u3 - u4 +…+(-1) 
un +...,
где u1, u2, u3..., - положительные для всех n 
N.
ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА). Знакочередующийся ряд
u1 – u2 + u3 - u4 +… (un> 0), (4.1)
сходится, еслипоследовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. u1> u2> u3> … (4.2)
и если 
un=0 (4.3)
при этом сумма S ряда(4.1) удовлетворяет неравенствам 0< S < u1.
Для остатка ряда 
в этом случае справедлива оценка 
.
ПРИМЕР.Исследовать сходимость ряда:
Имеем: 1> 1/4> 1/9>...– члены ряда монотонно убывают и 
=0.
По Теореме Лейбница ряд сходится.
Замечание: В Т.Лейбница важны как условие un=0, так и u1> u2> u3>...
Например, для ряда 
un=0, но условие
1/ 0, 41> 1/2, 41 > 1/1, 73 > 1/2, 73... или
2, 44> 0, 41> 0, 58> 0, 37... неверно и ряд расходится.
ПРИМЕР.Вычислить приблизительно сумму ряда 
.
Имеем знакочередующийся ряд, сходится.Возьмем пять элементов этого ряда:
,
Вычислим ошибку: 
; итак, 
.
|
|