Уравнение регрессии

Уравнение линейной регрессии Y на Х, отражающее прямолинейную корреляционную связь между переменными Х и Y, имеет вид:

,

где — коэффициент регрессии Y на Х, вычисляемый по формуле

.

Задача 5.1. В таблице 5.1 приведены результаты измерений линий D_i (в км) и абсолютные значения ошибок D _i (в см).

Вычислить коэффициент корреляции; с вероятностью 0, 90 оценить его надёжность и составить уравнение регрессии D на D.

Прежде чем решать задачу, прибегают к графическому изображению точек .

Рис. 5.1 — Прямая регрессии

График на рис. 5.1 указывает на наличие корреляции между D и D.

Решение. Вычисление необходимых сумм, а также контроли вычислений поместим в таблице 5.1.

Таблица 5.1
№ п/п	, км	, см						Примечания
	8, 7	6, 8	+4, 0	+3, 0	16, 00	9, 00	+12, 00	1) ; ; . 2) ; ; . 3) ; . Контроль: . Контроль выполнен.
	3, 7	3, 1	–1, 0	–0, 7	01, 00	0, 49	0+0, 70
	6, 0	3, 8	+1, 3	–0, 0	01, 69	0, 00	0+0, 00
	3, 3	2, 9	–1, 4	–0, 9	01, 96	0, 81	0+1, 26
	5, 1	4, 1	+0, 4	+0, 3	00, 16	0, 09	0+0, 12
	6, 1	3, 7	+1, 4	–0, 1	01, 96	0, 01	0–0, 14
	2, 7	2, 6	–2, 0	–1, 2	04, 00	1, 44	0+2, 40
	4, 9	4, 4	+0, 2	+0, 6	00, 04	0, 36	0+0, 12
	3, 1	2, 0	–1, 6	–1, 8	02, 56	3, 24	0+2, 88
	3, 7	4, 5	–1, 0	+0, 7	01, 00	0, 49	0–0, 70
å	47, 3	37, 9	+0, 3	-0, 1	30, 37	15, 93	+18, 64

1. Вычисление по формуле, которая в данной задаче примет вид:

;

; ; .

2. Оценка надёжности . Так как число измерений сравнительно небольшое (), для оценки надёжности вычисленного значения коэффициента корреляции применим критерий Фишера, основанный на преобразовании вида:

.

По таблице Приложения C, пользуясь коэффициентом корреляции , как аргументом, находим . Величина подчинена нормальному закону распределения. Доверительный интервал для истинного значения Z имеет вид:

.

определяем по формуле

.

Для вероятности 0, 90 по таблице Приложения B находим .

Из таблицы Приложения C находим соответствующие крайним значениям Z значения границ коэффициента корреляции (0, 56 и 0, 95). Получаем доверительный интервал, с вероятностью 0, 90 накрывающий истинное значение r:

.

Так как имеет место соотношение

(), то прямолинейную корреляционную связь можно считать установленной.

3. Составим уравнение регрессии Dна D:

,

;

приведём его к виду:

;

.

Получаем окончательно:

.

Затем по уравнению строим на графике рис. 5.1 прямую линию.

Достоинство уравнения регрессии состоит в том, что оно позволит по заданным значениям переменной D (в км) предвычислять ожидаемые в среднем значения переменной D (в см).