Нерівність Коші і її використання

Нерівність Коші – класична нерівність, яка широко використовується при доведенні інших нерівностей. Цю нерівність доведено багатьма способами. Виявляється, що нерівність Коші можна довести за допомогою перерозміщувальної нерівності для числових наборів з n елементів.

Нерівність Коші формулюється так: для будь-яких дійсних чисел виконується нерівність . Рівність досягається, коли усі числа рівні між собою.

Розв’язання. Розглянемо два набори чисел, позначивши .

і . Ці числові набори протилежно монотонні, тому для них можемо записати перерозміщувальну нерівність.

Звідси отримуємо , або , що треба було довести.

Нерівність Коші має широке використання для доведення різноманітних нерівностей. Наведу приклади доведення нерівностей за допомогою нерівності Коші які, на мою думку, найцікавіші.