Теорема про нерівність для наборів з двох чисел

Розглянемо дві одномонотонні послідовності, які складаються з двох чисел: і .Для цих наборів чисел складемо дві суми і .

Теорема 1. Для одномотонних наборів з двох чисел має місце нерівність:

.

Доведення. Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівностей: , звідки отримаємо потрібну нерівність.

Зауваження. Нерівність, яка доведена у цій теоремі, називається перерозміщувальною нерівністю для одномонотонних послідовностей, які складаються з двох елементів.

Розглянемо приклади доведення нерівностей за допомогою цієї теореми. Приклад 1. Довести, що для додатних дійсних чисел а i b має місце нерівність .

Розв’язання. Нехай , тоді , отже , що треба було довести.

Приклад 2. Довести, що для додатних дійсних чисел а i b має місце нерівність .

Розв’язання. Нехай , тоді , використаємо теорему , що треба було довести.