Узагальнення методу для m наборів чисел, кожний з яких містить n елементів

Виявляється, що використання двох наборів чисел(послідовностей), кожний з яких містить n елементів, не достатньо для доведення багатьох нерівностей. Розглянемо m наборів чисел, кожний з яких містить n елементів. Нехай кожен з цих наборів не спадний (не зростаючий), тобто усі числові набори однаково монотонні. Розглянемо число, отримане, як сума добутків відповідних елементів цих послідовностей і будемо позначати його так, як і для двох послідовностей:

. Сформулюємо аналогічну теорему. Якщо числові набори чисел однаково монотонні, то має місце перерозміщувальна нерівність:

Продемонструємо використання цієї теореми для доведення нерівностей.

За допомогою цієї нерівності доведення нерівності Коші записується компактно в один рядок. Нехай треба довести, що для будь-яких дійсних чисел виконується нерівність . Позначимо , (), тоді , а нерівність Коші набуде такого вигляду . Запишемо перерозміщувальну нерівність для системи, яка містить n числових послідовностей, кожна з яких має n елементів . Підставивши в останню нерівність (), отримаємо нерівність Коші.

Виявляється, що ми можемо узагальнити нерівність Чебишова, якщо замість двох послідовностей розглядати m одномонотонних наборів чисел. Тоді нерівність Чебишова набуває такого вигляду .

Останню нерівність можна використати для доведення такої, наприклад, нерівності.

Приклад 19. Довести, що для , , () виконується нерівність .

Розв’язання. Використаємо узагальнену нерівність Чебишова і запишемо:

, що треба було довести.

Приклад 20. Довести, що для додатних дійсних чисел a, b, c виконується нерівність .

Розв’язання. Розглянемо три числових одномонотонних набори чисел і запишемо для них перерозміщувальну нерівність: