Створення нових нерівностей за допомогою перерозміщувальної нерівності та нерівностей Чебишова, Коші

Перерозміщувальні нерівності та нерівності Чебишова та Коші – джерело створення нових нерівностей. Щоб створити нерівність, будемо брати одномонотонні числові набори і записувати перерозміщувальну нерівність, або нерівність Чебишова, чи Коші. Покажемо це на конкретних прикладах.

Приклад 21. Візьмемо числову послідовність . Застосуємо нерівність Коші:

. Звідси одержуємо нерівність . Рівність досягається при

Приклад 22. Розглянемо послідовність . Запишемо нерівність Коші:

, Для лівої частини використаємо формулу для суми перших n членів геометричної прогресії: . Виконавши тотожні перетворення, отримаємо нерівність Рівність досягається при

Приклад 23. Розглянемо дві послідовності: і , де , . Обидві послідовності зростаючі. Застосуємо нерівність Чебишова:

Звідси одержуємо Рівність досягається при

Приклад 24. Розглянемо дві послідовності: і , де , . Перша послідовність зростаюча, а друга – спадна. Застосуємо нерівність Чебишова і формулу скінченної суми:

Звідси одержуємо .

Приклад 25. Розглянемо дві послідовності: і . Обидві послідовності зростаючі. Застосуємо нерівність Чебишова і формули скінченних сум:

. Звідси одержуємо , або у такому вигляді . Рівність досягається при

Приклад 26. Розглянемо дві числові послідовності: і . Обидві послідовності зростаючі. Застосуємо нерівність Чебишова і формулу суми членів геометричної прогресії:

, або у такому вигляді

Рівність досягається при

Приклад 27. Послідовності і одномонотонні, запишемо для них перерозміщувальну нерівність:

. Отримали таку нерівність: , причому рівність має місце, якщо