Лекция 12: Показатели качества динамических свойств систем управления

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Динамические свойства систем оцениваются видом переходного процесса, который обычно оценивают динамической ошибкой и быстродействием, т.е. скоростью затухания переходного процесса (время затухания).

Динамическая ошибка – это мера отклонения регулируемой координаты от заданного (требуемого) процесса (программы).

Для оценки качества динамических свойств САУ можно использовать переходную характеристику, т.е. по реакции на ступенчатый сигнал.

Оценка качества по переходной характеристике

Из кривой переходного характеристики определяют два основных показателя:

1) Время переходного процесса – оно характеризует быстродействие и определяется как интервал времени от начала переходного процесса до того момента, когда кривая переходной характеристики входит в зону 3÷ 5% y(∞), в дальнейшем не выходя из него.

2) Максимальное отклонение от нового установившегося значения y(∞) = y_уст, которое измеряется в относительных единицах:

По существу это максимальная динамическая ошибка.

Если качество оценивается по реакции на возмущающее воздействие, то вместо перерегулирования используют величину максимального отклонения оп отношению к приведенному возмущению (F).

Переходная характеристика дает исчерпывающие данные о динамических свойствах системы. Однако это осложнено решением дифференциального уравнения, составляющего САУ. кроме того, часто необходимо задать и оценить динамические характеристики системы на этапе проектирования.

Поэтому были разработаны специальные критерии качества, которые условно можно разделить на три группы:

Эти критерии позволяют судить о качестве системы по различного рода частотных характеристикам системы. Это следует из однозначной зависимости переходной характеристики и частотных свойств системы. Обычно оценка качества связана с определением двух характеристик по частотной ПФ разомкнутой САУ (по годографу):

Угол γ характеризует запас устойчивости по фазе, т.е. степень удаленности годографа от границы устойчивости.

Величины L_з и γ могут быть определены из ЛЧХ. Это делается чаще всего.

Эти характеристики рассматривались уже ранее, в том числе их взаимосвязь с W(jω).

В некотором смысле наличие двух параметров для оценки качества динамических свойств считается недостатком методики.

В этом отношении более удобно определять запас устойчивости по так называемому показателю колебательности М_м. он определяется из АХЧ замкнутой САУ.

Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем выше резонансный пик.

Так как резонансная частота ω _р приблизительно соответствует частоте колебаний переходного процесса, то время достижения первого максимума t_м можно приближенно определить по выражению

Если переходный процесс заканчивается за 1÷ 2 колебания, то

Частотные и временные характеристики связаны между собой сложными зависимостями. Однако когда доминирующими являются два комплексно-сопряженных корня, то САУ приближенно можно заменит колебательным звеном

Для этой ПФ легко найти взаимосвязь σ, М, γ от параметра затухания ξ.

Эта группа критериев основана на оценке качества переходных процессов по значениям нулей и полюсов Ф(p).

Пусть

, тогда разложив многочлены на множители (т.е. опред. корни).

λ ₀_j – нули ПФ, зависящие от места приложения воздействия,

Заметим, что при определении устойчивости нас интересовали только λ _i. Наличие нулей существенно влияет на переходный процесс в ту и др. сторону, но методика разработана только для полюсов, т.е. для Ф(р) вида

В общем случае переходный процесс имеет вид:

т.е. переходный процесс распадается на апериодическую и колебательную составляющие.

Если найти самую длительную составляющую переходного процесса, то по ней можно дать оценку t_п, также дело обстоит с колебательностью.

1. Критерий длительности (быстродействия) – степень устойчивости η.

Очевидно, что с уменьшением действительной части α _i переходный процесс увеличивается, т.к. растет постоянная времени апериодического звена:

. Отсюда учитывая, что t_п ≈ 3T_i _max, получим

где η = |α |_min – степень устойчивости (затухания).

2. Критерий колебательности – степень колебательности μ.

Известно, то процесс описывается соотношением:

Отсюда, учитывая, что sin(β _it + φ _i) = 1 в точках t₁ и t₂, получим:

- характеризует затухание (колебательность).

Вывод: Чем больше μ, тем больше колебательность. В предельном случае μ → ∞, у₂ = у₁; а при μ = 0, у₂ = 0, т.е. реально одно колебание у₁.

На комплексной плоскости корни

определяют угол γ, откуда

Отсюда чем меньше угол γ, тем меньше колебательность переходного процесса.

Обычно величина γ используется совместно со степенью устойчивости η для задания области желаемого расположения полюсов ПФ. Она определяет допустимую колебательность и требуемое затухание переходного процесса.

Примечание: Пусть характеристическое уравнение имеет следующий вид:

По величине λ ₀ можно судить о приближенном виде переходного процесса, т.е. средней длительности. Этот метод не требует определения корней.

Интегральные критерии оценивают, насколько отклоняется переходный процесс от идеального (скачка или напр. экспоненты), т.е. судят по е(t).

Ввиду того, что J₁ → площадь под кривой, п.п. должен быть монотонным. Для колебательного процесса используют

но оказалось, что вычисление

по коэффициентам критерия затруднительно. Поэтому чаще стали использовать критерий (2), но он в некоторых случаях дает предпочтение колебательному процессу перед апериодическим.

Поэтому обратились к J₃. этот критерий приближает в идеале к экспоненте с постоянной времени τ. (Но есть проблема выбора τ).

Есть еще критерии с коэффициентами в виде времени:

которые исключают сильно колеб. п.п., т.к. вес полуволн с течением t увеличивается.

Интегралы для некоторых систем можно вычислить по частотным характеристикам, например, для наиболее популярного критерия:

В большинстве случаев интегралы вычисляют по е(t) численно на ЭВМ, для выбора оптимальных параметров используют методы оптимизации (поиска экстремума.)