Лекция 12: Показатели качества динамических свойств систем управления

Динамические свойства систем оцениваются видом переходного процесса, который обычно оценивают динамической ошибкой и быстродействием, т.е. скоростью затухания переходного процесса (время затухания).

Динамическая ошибка – это мера отклонения регулируемой координаты от заданного (требуемого) процесса (программы).

Для оценки качества динамических свойств САУ можно использовать переходную характеристику, т.е. по реакции на ступенчатый сигнал.

Оценка качества по переходной характеристике

Из кривой переходного характеристики определяют два основных показателя:

1) Время переходного процесса – оно характеризует быстродействие и определяется как интервал времени от начала переходного процесса до того момента, когда кривая переходной характеристики входит в зону 3÷ 5% y(∞), в дальнейшем не выходя из него.

2) Максимальное отклонение от нового установившегося значения y(∞) = y_уст, которое измеряется в относительных единицах:

- перерегулирование.

По существу это максимальная динамическая ошибка.

Примечание.

Если качество оценивается по реакции на возмущающее воздействие, то вместо перерегулирования используют величину максимального отклонения оп отношению к приведенному возмущению (F).

Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer

Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.

Что умеет делать SeoHammer

— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.

SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.

Зарегистрироваться и Начать продвижение

Переходная характеристика дает исчерпывающие данные о динамических свойствах системы. Однако это осложнено решением дифференциального уравнения, составляющего САУ. кроме того, часто необходимо задать и оценить динамические характеристики системы на этапе проектирования.

Поэтому были разработаны специальные критерии качества, которые условно можно разделить на три группы:

1) частотные критерии качества

2) корневые

3) интегральные

Частотные критерии качества

Эти критерии позволяют судить о качестве системы по различного рода частотных характеристикам системы. Это следует из однозначной зависимости переходной характеристики и частотных свойств системы. Обычно оценка качества связана с определением двух характеристик по частотной ПФ разомкнутой САУ (по годографу):

1) запас устойчивости по фазе;

2) запас устойчивости по модулю (амплитуде).

Угол γ характеризует запас устойчивости по фазе, т.е. степень удаленности годографа от границы устойчивости.

В хорошо демпфированных САУ γ = 30÷ 60º.

Величины L_з и γ могут быть определены из ЛЧХ. Это делается чаще всего.

Эти характеристики рассматривались уже ранее, в том числе их взаимосвязь с W(jω).

В некотором смысле наличие двух параметров для оценки качества динамических свойств считается недостатком методики.

В этом отношении более удобно определять запас устойчивости по так называемому показателю колебательности М_м. он определяется из АХЧ замкнутой САУ.

Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.

Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Зарегистрироваться в сервисе

Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем выше резонансный пик.

Определение t_п (быстродействие):

Так как резонансная частота ω _р приблизительно соответствует частоте колебаний переходного процесса, то время достижения первого максимума t_м можно приближенно определить по выражению

.

Если переходный процесс заканчивается за 1÷ 2 колебания, то

.

Частотные и временные характеристики связаны между собой сложными зависимостями. Однако когда доминирующими являются два комплексно-сопряженных корня, то САУ приближенно можно заменит колебательным звеном

.

Для этой ПФ легко найти взаимосвязь σ, М, γ от параметра затухания ξ.

Учитывая, что и , можно определить t_п: .

Корневые методы

Эта группа критериев основана на оценке качества переходных процессов по значениям нулей и полюсов Ф(p).

Пусть , тогда разложив многочлены на множители (т.е. опред. корни).

Получим

,

λ _0j – нули ПФ, зависящие от места приложения воздействия,

λ _i – полюсы.

Заметим, что при определении устойчивости нас интересовали только λ _i. Наличие нулей существенно влияет на переходный процесс в ту и др. сторону, но методика разработана только для полюсов, т.е. для Ф(р) вида

.

В общем случае переходный процесс имеет вид:

, ,

т.е. переходный процесс распадается на апериодическую и колебательную составляющие.

Если найти самую длительную составляющую переходного процесса, то по ней можно дать оценку t_п, также дело обстоит с колебательностью.

1. Критерий длительности (быстродействия) – степень устойчивости η.

Очевидно, что с уменьшением действительной части α _i переходный процесс увеличивается, т.к. растет постоянная времени апериодического звена: . Отсюда учитывая, что t_п ≈ 3T_{i max}, получим

,

где η = |α |_min – степень устойчивости (затухания).

2. Критерий колебательности – степень колебательности μ.

Известно, то процесс описывается соотношением:

.

Отсюда, учитывая, что sin(β _it + φ _i) = 1 в точках t₁ и t₂, получим:

- характеризует затухание (колебательность).

Здесь - период колебаний, получается из .

Далее

,

где - степень колебательности; .

Вывод: Чем больше μ, тем больше колебательность. В предельном случае μ → ∞, у₂ = у₁; а при μ = 0, у₂ = 0, т.е. реально одно колебание у₁.

На комплексной плоскости корни определяют угол γ, откуда

.

Отсюда чем меньше угол γ, тем меньше колебательность переходного процесса.

Обычно величина γ используется совместно со степенью устойчивости η для задания области желаемого расположения полюсов ПФ. Она определяет допустимую колебательность и требуемое затухание переходного процесса.

Примечание: Пусть характеристическое уравнение имеет следующий вид:

.

Здесь , т.е. - среднегеометрический корень.

По величине λ ₀ можно судить о приближенном виде переходного процесса, т.е. средней длительности. Этот метод не требует определения корней.

Интегральные критерии качества

Интегральные критерии оценивают, насколько отклоняется переходный процесс от идеального (скачка или напр. экспоненты), т.е. судят по е(t).

Наиболее популярные (и очевидные):

(1)

(2)

(3)

Ввиду того, что J₁ → площадь под кривой, п.п. должен быть монотонным. Для колебательного процесса используют

,

но оказалось, что вычисление по коэффициентам критерия затруднительно. Поэтому чаще стали использовать критерий (2), но он в некоторых случаях дает предпочтение колебательному процессу перед апериодическим.

Поэтому обратились к J₃. этот критерий приближает в идеале к экспоненте с постоянной времени τ. (Но есть проблема выбора τ).

Есть еще критерии с коэффициентами в виде времени:

и т.д.,

которые исключают сильно колеб. п.п., т.к. вес полуволн с течением t увеличивается.

Интегралы для некоторых систем можно вычислить по частотным характеристикам, например, для наиболее популярного критерия:

.

В большинстве случаев интегралы вычисляют по е(t) численно на ЭВМ, для выбора оптимальных параметров используют методы оптимизации (поиска экстремума.)