💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Лекция 10: Частотные методы определения устойчивости

К частотным критериях относятся два критерия:

1) критерий Михайлова (сформулирован в 1936 г.)

2) критерий Найквиста (в 1932 г.)

Частотные критерии связаны с построением годографа на комплексной плоскости в функции частоты, т.е. это графоаналитические методы.

Критерий устойчивости Михайлова

В основе лежит построение годографа характеристического полинома

- полином Гурвица.

При , получим

где X(ω) – содержит четные степени ω;

Y(ω) – содержит нечетные степени ω.

Правило: Система устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ годограф D(jω) огибает начало координат против часовой стрелки, проходя последовательно n четвертей (квадрантов), где n – порядок D(jω).

Достоинство: в отличие от критерия Гурвица малокритичен к порядку характерного полинома.

Недостаток: Трудно оценить запас устойчивости. От этого недостатка свободен критерий Найквиста.

Критерий устойчивости Найквиста

В основе критерия лежит построение годографа частотной ПФ разомкнутой системы:

при изменении частоты ω от 0 до +∞. То есть это также графоаналитический метод.

Правило 1: Если разомкнутая система устойчива и годограф ПФ разомкнут, система (при изменении ω от 0 до ∞) не охватывает точку с координатами
(-1; j0), то замкнутая САУ будет устойчива; если годограф охватывает точку
(-1; j0), то САУ – неустойчива. Если годограф W(jω) проходит через точку
(-1; j0), то система находится на границе устойчивости.

Примеры:

Правило 2: Если разомкнутая САУ неустойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФХ разомкнутой системы должны охватывать точку (-1; j0) раз, где k - число правых полюсов ПФ W(s), т.е. число полюсов с α _i> 0 (положительной действительной частью).

Достоинства: 1) частотные характеристики можно снять экспериментально;

2) можно дать оценку запаса усталости

а) γ – запас по фазе;

б) - запас по модулю (амплитуде).

		При увеличении коэффициента передачи K разомкнутой системы запас по фазе уменьшается. При некотором значении K годограф пройдет через точку (-1, j0). Это значение K=Kкр – называется критическим коэффициентом усиления (передачи).
		Рис. Запретная зона с заданными ± h и ± γ, в которую не должны входить W(jω).

Физическая сущность усталости, исходя из критерия Найквиста, интерпретируется следующим образом:

1. Фаза e(t) отличается от фазы y(t) на -180º, т.к. y(t) после элемента сравнения за счет операции вычитания изменяет фазу на противоположную.

2. Если коэффициент передачи на частоте колебаний равен 1, то получаем затухающие колебания, т.е. φ = -180º, |W(jω)|=1.

3. Если при φ = -180º |W(jω)|> 1, то ошибка будет увеличиваться все больше и больше – т.е. неустойчивый процесс.

4. При φ = -180º |W(jω)|< 1, то процесс колебаний затухает до нуля – система устойчива.

Вывод: Поэтому точка (-1, j0) – является особой точкой в критерии Найквиста и фаза -180º, и модуль А=1.

Устойчивость систем управления с запаздыванием

Таким образом, запаздывание увеличивается на ω τ, т.е. устойчивость ухудшается. Годограф из-за составляющей ω τ закручивается вокруг начала координат по спирали, т.е. исходный годограф W (jω) поворачивается на угол θ =ω τ.

Критерий Найквиста для САУ с запаздыванием не изменяется: годограф W_τ (jω) не должен охватывать точку (-1; j0). Если имеется исходная W (jω), то по годографу можно определить допустимое запаздывание, которое выводит систему на границу устойчивости:

- графическим методом

или аналитически из условия –φ (ω ₀) – τ ω ₀ = -π

.

Вывод: Для систем с запаздыванием критерий Найквиста – единственный, практически применяемый критерий устойчивости. (кроме дискретных систем, где запаздывание учитывается аналитически наиболее просто)

Определение устойчивости по ЛЧХ

Критерий Найквиста может быть интерпретирован в логарифмической форме (виде). Так например, точке пересечения W (jω) с осью -1 ÷ -∞ будет соответствовать сдвиг фазы на –π, -3π, -5π и т.д., а А(ω) = 1, т.к. L = 20lg1 = 0. Т.е. точка ω _ср аналог точки (-1; j0).

Поясним критерий Найквиста на примере:

Т₁> T₂> T₃

L_a = 20 lg(1-h), где 1-h = a – запас по модулю (см. обычный критерий Найквиста)

ω _ср – частота среза, где L(ω _ср) = 0.

γ – запас устойчивости по фазе.

в абсолютных единицах.

Правило: Если на частоте среза ω _ср фаза φ (ω _ср) меньше по модулю 180º, то САУ устойчива.

Второй вариант: В устойчивой САУ φ (ω) должная пересекать ось - 180º правее точки ω _ср.

Построение областей устойчивости

Часто ставится задача не только определить устойчивость, но и выбрать область параметров, в которой система будет заведомо устойчива.

Такая задача решается построением областей устойчивости.

Обычно рассматривают плоскость одного, двух и иногда трех параметров:

Правило штриховки: штриховка направлена в область устойчивости.

Примечание: Если система во всей области параметров неустойчива, то она называется структурно неустойчивой → обычно не выполняются необходимые условия устойчивости.

Таким образом для определения области устойчивости и соответственно неустойчивости необходимо построить границу устойчивости. Это можно сделать с помощью критериев устойчивости:

1. Условие Гурвица: Δ (А, В) = 0 и его миноры

2. Критерий Михайлова (D-разбиение)

D(jω, A, B) = 0, или X(ω, A, B) = 0, Y(ω, A, B) = 0

3. Критерий Найквиста:

или , ω изменяется от 0 до ∞.

Полученные области проверяются на устойчивость по первой тоже с использованием любого критерия. Иногда можно определить область устойчивости по физическому смыслу параметров.

Пример:

1. Критерий Гурвица:

а₃(а₁а₂ – а₀а₃) = 0 – уже было ранее.

или .

2. Критерий Михайлова:

Ω		....
Ky		....
Ty	∞	....

,

примечание: Если заменить , то будет как в Гурвице.

Вывод: Результат тот же.

Но есть в этом примере недостаток – требуется преобразование в формуле К_у при ω = 0. Если этого не сделать, то будет несколько иной результат. То есть требуется подставить Т₄ при ω = 0. Для других частот – все нормально.

3. Критерий Найквиста:

, отсюда

или

Если далее строить годограф задавая ω в диапазоне 0÷ ∞, то получим тот же результат.

Вывод: Для построения областей устойчивости критерия Михайлова удобнее, т.к. проще соотношения.

Дополнение: Все соотношения эквивалентны. Например, от результатов, получаемых по Найквисту можно перейти к соотношению для критерия Михайлова.

Имеется известная формула из тригонометрии:

Отсюда , где при T_yT_мω ² = 1.

Поэтому – см. условие Михайлова.

Теперь если подставим это соотношение для в А(ω), то получим

, т.е. как по Михайлову.