Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • Лекция 10: Частотные методы определения устойчивости






     

    К частотным критериях относятся два критерия:

    1) критерий Михайлова (сформулирован в 1936 г.)

    2) критерий Найквиста (в 1932 г.)

    Частотные критерии связаны с построением годографа на комплексной плоскости в функции частоты, т.е. это графоаналитические методы.

     

    Критерий устойчивости Михайлова

    В основе лежит построение годографа характеристического полинома

    - полином Гурвица.

    При , получим

    где X(ω) – содержит четные степени ω;

    Y(ω) – содержит нечетные степени ω.

    Правило: Система устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ годограф D(jω) огибает начало координат против часовой стрелки, проходя последовательно n четвертей (квадрантов), где n – порядок D(jω).

     


    Достоинство: в отличие от критерия Гурвица малокритичен к порядку характерного полинома.

    Недостаток: Трудно оценить запас устойчивости. От этого недостатка свободен критерий Найквиста.

     

    Критерий устойчивости Найквиста

    В основе критерия лежит построение годографа частотной ПФ разомкнутой системы:

    при изменении частоты ω от 0 до +∞. То есть это также графоаналитический метод.

           
       
     


    Правило 1: Если разомкнутая система устойчива и годограф ПФ разомкнут, система (при изменении ω от 0 до ∞) не охватывает точку с координатами
    (-1; j0), то замкнутая САУ будет устойчива; если годограф охватывает точку
    (-1; j0), то САУ – неустойчива. Если годограф W(jω) проходит через точку
    (-1; j0), то система находится на границе устойчивости.

    Примеры:

               
       
     
       
     
     

     


    Правило 2: Если разомкнутая САУ неустойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФХ разомкнутой системы должны охватывать точку (-1; j0) раз, где k - число правых полюсов ПФ W(s), т.е. число полюсов с α i> 0 (положительной действительной частью).

    Достоинства: 1) частотные характеристики можно снять экспериментально;

    2) можно дать оценку запаса усталости

    а) γ – запас по фазе;

    б) - запас по модулю (амплитуде).

                 
     
       
    При увеличении коэффициента передачи K разомкнутой системы запас по фазе уменьшается. При некотором значении K годограф пройдет через точку (-1, j0). Это значение K=Kкр – называется критическим коэффициентом усиления (передачи).
     
     
     
       
    Рис. Запретная зона с заданными ± h и ± γ, в которую не должны входить W(jω).
     

     


    Физическая сущность усталости, исходя из критерия Найквиста, интерпретируется следующим образом:

     
     

     

     


    1. Фаза e(t) отличается от фазы y(t) на -180º, т.к. y(t) после элемента сравнения за счет операции вычитания изменяет фазу на противоположную.

    2. Если коэффициент передачи на частоте колебаний равен 1, то получаем затухающие колебания, т.е. φ = -180º, |W(jω)|=1.

    3. Если при φ = -180º |W(jω)|> 1, то ошибка будет увеличиваться все больше и больше – т.е. неустойчивый процесс.

    4. При φ = -180º |W(jω)|< 1, то процесс колебаний затухает до нуля – система устойчива.

    Вывод: Поэтому точка (-1, j0) – является особой точкой в критерии Найквиста и фаза -180º, и модуль А=1.

     

    Устойчивость систем управления с запаздыванием

           
     
       
     

     


    Таким образом, запаздывание увеличивается на ω τ, т.е. устойчивость ухудшается. Годограф из-за составляющей ω τ закручивается вокруг начала координат по спирали, т.е. исходный годограф W (jω) поворачивается на угол θ =ω τ.

    Критерий Найквиста для САУ с запаздыванием не изменяется: годограф Wτ (jω) не должен охватывать точку (-1; j0). Если имеется исходная W (jω), то по годографу можно определить допустимое запаздывание, которое выводит систему на границу устойчивости:

    - графическим методом

    или аналитически из условия –φ (ω 0) – τ ω 0 = -π

    .

    Вывод: Для систем с запаздыванием критерий Найквиста – единственный, практически применяемый критерий устойчивости. (кроме дискретных систем, где запаздывание учитывается аналитически наиболее просто)

     

    Определение устойчивости по ЛЧХ

     

    Критерий Найквиста может быть интерпретирован в логарифмической форме (виде). Так например, точке пересечения W (jω) с осью -1 ÷ -∞ будет соответствовать сдвиг фазы на –π, -3π, -5π и т.д., а А(ω) = 1, т.к. L = 20lg1 = 0. Т.е. точка ω ср аналог точки (-1; j0).

    Поясним критерий Найквиста на примере:

    Т1> T2> T3

     

     

    La = 20 lg(1-h), где 1-h = a – запас по модулю (см. обычный критерий Найквиста)

     

     

    ω ср – частота среза, где L(ω ср) = 0.

    γ – запас устойчивости по фазе.

    в абсолютных единицах.

     

    Правило: Если на частоте среза ω ср фаза φ (ω ср) меньше по модулю 180º, то САУ устойчива.

     

    Второй вариант: В устойчивой САУ φ (ω) должная пересекать ось - 180º правее точки ω ср.

     

     
     

     


    Построение областей устойчивости

     

    Часто ставится задача не только определить устойчивость, но и выбрать область параметров, в которой система будет заведомо устойчива.

    Такая задача решается построением областей устойчивости.

    Обычно рассматривают плоскость одного, двух и иногда трех параметров:

           
       
     
     

     


    Правило штриховки: штриховка направлена в область устойчивости.

     

    Примечание: Если система во всей области параметров неустойчива, то она называется структурно неустойчивой → обычно не выполняются необходимые условия устойчивости.

     

    Таким образом для определения области устойчивости и соответственно неустойчивости необходимо построить границу устойчивости. Это можно сделать с помощью критериев устойчивости:

    1. Условие Гурвица: Δ (А, В) = 0 и его миноры

    2. Критерий Михайлова (D-разбиение)

    D(jω, A, B) = 0, или X(ω, A, B) = 0, Y(ω, A, B) = 0

    3. Критерий Найквиста:

    или , ω изменяется от 0 до ∞.

     

    Полученные области проверяются на устойчивость по первой тоже с использованием любого критерия. Иногда можно определить область устойчивости по физическому смыслу параметров.

     

    Пример:

     
     

     


    1. Критерий Гурвица:

    а31а2 – а0а3) = 0 – уже было ранее.

    или .

     
     

     


    2. Критерий Михайлова:

    Ω   ....
    Ky ....
    Ty ....

    ,

     

    примечание: Если заменить , то будет как в Гурвице.

     

    Вывод: Результат тот же.

    Но есть в этом примере недостаток – требуется преобразование в формуле Ку при ω = 0. Если этого не сделать, то будет несколько иной результат. То есть требуется подставить Т4 при ω = 0. Для других частот – все нормально.

     

    3. Критерий Найквиста:

    , отсюда

    или

     

    Если далее строить годограф задавая ω в диапазоне 0÷ ∞, то получим тот же результат.

     

    Вывод: Для построения областей устойчивости критерия Михайлова удобнее, т.к. проще соотношения.

     

    Дополнение: Все соотношения эквивалентны. Например, от результатов, получаемых по Найквисту можно перейти к соотношению для критерия Михайлова.

    Имеется известная формула из тригонометрии:

    Отсюда , где при TyTмω 2 = 1.

     

    Поэтому – см. условие Михайлова.

    Теперь если подставим это соотношение для в А(ω), то получим

    , т.е. как по Михайлову.

     







    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.