Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Лекция 9: Устойчивость линейных САУ






     

    Алгебраические методы определения устойчивости. Понятие об устойчивости.

    Любая динамическая система может быть охарактеризована переходным процессом, который возникает при действии на САУ различных возмущений и управляющих воздействий. При этом переходные процессы, например, по возмущению могут иметь следующий вид:

    а) б)

     

    Пример из механики:

           
     
       

     

     


    Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это полезное свойство → работоспособность.

    Если система неустойчивая, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс. Это плохое свойство системы → она является неработоспособной.

    Другими словами: Устойчивой является такая САУ, в которой переходные процессы затухают. Имеется еще граница устойчивости → равномерные колебания.

    История вопроса: Ранее этой теме уделялось основное внимание. И проектирование сводилось к построению устойчивой САУ. предполагалось, что о.о.с. придает свойство точности, хотя колебательность системы увеличивается. Поэтому, если при введении о.о.с. и корректирующего звена (регулятора) САУ становится устойчивой, то этого достаточно для качества.

    Корневой метод оценки устойчивости САУ

    Устойчивость, очевидно, определяется свойствами САУ, т.е. ее характеристиками, в частности параметрами ее математической модели.

    Известно, что для любого возмущения действующего на замкнутую САУ, справедливо:

    y(t) = yуст(t) + yп(t) – решение дифференциальных уравнений САУ,

    где yуст(t) – частное решение неоднородного дифференциального уравнения с правой частью, описывающее вынужденный режим работы системы, который устанавливается по окончании переходного процесса.

    yп(t) – общее решение однородного уравнения.

    W(s) + 1 = 0, т.е. характеристическое уравнение.

    Здесь W(t) – передаточная функция разомкнутой САУ.

    Т.е. , , D(s) = A(s) + B(s) = 0,

    где D(s) – характеристический полином.

    Решение yп(t) затухает, т.е. стремится к нулю, если система устойчива, и наоборот yп(t)→ ∞, если неустойчива.

    , где λ i – корни D(A) = 0

    сi – постоянные интегрирования, которые определяются начальными условиями.

    В общем случае корни λ i являются комплексными.

    В частном случае β = 0 или α = 0
    ,

    где α i – может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

    Каждая такая пара комплексно-сопряженных корней дает в выражении (1) составляющую переходного процесса вида

    ,

    где β i – является круговой частотой, т.е. типа ω.

     

    Доказательство:

    Здесь с1 и с2 также комплексно сопряжены

    с1 = А + jВ, с2 = А – jВ

    или

    или , .

    Доказательство сопряженности с1 и с2:

    , М, N, - начальные условия.

    Отсюда

    , т.е. с1 и с2 – комплексно сопряжены.

    При этом результат y(t) не зависит от знака перед β.

    Например, пусть с1 = А – jВ, с2 = А + jВ, тогда

     

    Анализ:

    Как видно из этого соотношения переходный процесс затухает при α i< 0, и наоборот расходится при α i> 0.

    При α i=0 – корни мнимые, сто соответствует незатухающим колебаниям (граница устойчивости)

    В частном случае при β i=0 имеем действительные корни λ ii и соответственно апериодический переходный процесс.

    Вывод: Условие устойчивости связано с условием α i< 0. Т.е. все корни D(s) (полюса знаменателя ПФ замкнутой САУ) должны иметь отрицательную действительную часть.

     

    На комплексной плоскости условие устойчивости отображается в следующем виде:

     
     

     

     


    Корни характеристического уравнения устойчивой системы располагаются в левой полуплоскости.

    Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

     

    Проблема: Таким образом, если корни D(s) определены, то задача устойчивости можно сказать решена. В настоящее время корни полиномов легко определяются с помощью специальных программ, например, MathCad, MatLab.

    Ранее ЭВМ не было и решение поставленной задачи представляло большие трудности. Поэтому все усилия были направлены на то, как определить устойчивость САУ, не решая дифференциальных уравнений. В результате были разработаны критерии устойчивости, которые позволяют оценивать устойчивость САУ по косвенным признакам.

     

    Необходимые и достаточные условия устойчивости

    Инженеру в практических расчетах требуется также часто давать оценку устойчивости САУ на ранних стадиях проектирования, например, определять устойчивость исходной некорректированной системы.

    В первую очередь необходимо проверить выполнение необходимого условия устойчивости, которое сводится к положительности всех коэффициентов характеристического уравнения системы. Покажем это:

    - теорема Виета

    или с учетом отрицательности α i< 0 перепишем:

    .

    Учитывая, что

    ,

    Получим после раскрытия скобок и приведения подобных членов характеристического уравнения все положительные коэффициенты.

    Вывод: Перед применением критерия устойчивости характеристический полином проверяют на положительность коэффициентов. Если это условие выполняется, то переходят к оценке устойчивости с помощью??? критерия.

    Наиболее известными критериями являются критерии устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста. Критерии являются достаточным условием устойчивости.

     

    Критерий устойчивости Гурвица

    Гурвиц – швейцарский математик конца 19 века.

    Пусть , где а0> 0.

     

     

    - определитель Гурвица.

    Условие устойчивости:

    Положительность определителя и всех его миноров.

     

    Пример: - ПФ разомкнутой САУ.

    Отсюда:

    .

    Необходимое условие выполняется: все коэффициенты α i> 0.

    .

    Из этого неравенства можно определить соотношение k и постоянной времени

    .

     

    Вывод: 1. Как видно из полученных соотношений критерий Гурвица становится неудобным при большом порядке D(s). Обычно выше четвертого порядка критерий не используется.

    2. Достоинства критерия – алгебраическая форма, позволяющая проанализировать влияние параметров САУ на устойчивость.

     

     







    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.