Колебательное звено

Звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка

При этом корни характеристического уравнения

должны быть комплексными

, т.к. ,

где , .

1) Левая часть уравнения может быть представлена в следующем виде

→ ,

где Т = Т₂, 2ξ Т = Т₁ → < 1, т.к. , Т₁ < 2Т₂.

Тогда ,

ξ – коэффициент затухания (0 ≤ ξ ≤ 1).

2) Второй вариант уравнения колебательного звена.

Поделим уравнение на Т²:

.

Обозначим , тогда и ПФ будет равна

- в радиотехнике и электротехнике,

где - собственная частота колебаний.

Примеры:

1)

Условие колебательности: или

4(LC) > (RC²) → 4L > R²C →

2)

3) Колебательным звеном иногда приближенно представляется замкнутый контур регулирования. Он обычно имеет частотную характеристику следующего вида

Замечание. Колебательное звено может быть выражено через коэффициенты α и β сопряженных корней.

или

Отсюда

.

Временные характеристики:

Переходная характеристика имеет следующий вид:

По экспериментальной характеристике h(t) можно найти параметры колебательного звена:

1) K = h_уст.(∞), при x = 1(t), при .

2) , – из уравнения.

Согласно решения h(t) величина β является частотой колебаний. Из графика имеем:

, где τ – период колебаний.

α – характеризует степень затухания.

Его тоже можно найти из графика h(t):

, при а₁ = а₂ → , т.е. периодические колебания.

Частотные характеристики:

- высота пика зависит от ξ;

- резонансная частота тоже зависит от ξ и от ω ₀.

Доказательство: Знаменатель А(ω) имеет максимум. Поэтому возьмем от него первую производную по ω и приравняем нулю:

; →

Отсюда видно, что резонанс возникает при или при .

Теперь

;

очевидно при .

Т.е. этой формуле всегда нужно брать .

ЛАЧХ, ФЧХ колебательного звена были построены ранее в виде асимптотической ЛАЧХ.

Замечание: Здесь ω _р не совпадает с ω ₀; т.к. , т.е. ω _р < ω ₀. совпадение произойдет при ξ = 0, но это идеализация, т.к. резонанс = ∞.

Асимптотическая ЛАЧХ имеет допустимую погрешность при 0, 4 < ξ < 0, 7:

- это выброс на резонансной частоте, а ранее ∆ определялись при .

Отсюда видно, что min достигается при вполне определенном значении ξ.

Пример:

Определим это значение из условия ∆ = 0, отсюда

→

→ .

Вывод: Асимптотическая ЛАЧХ наилучшее приближение имеет при .

Примечание: Если ξ ≥ 1, то колебательное звено трансформируется в апериодическое звено 2-го порядка.

, → . Но это уже не типовое звено.

	, T3 > T4 Т.е. из графика h(t) можно определить T4 и T3. (даже с проверкой, т.к. 3 соотношения)

Еще одним частным случаем является ξ = 0 или Т₁ = 0. в результате резонанс = ∞. Такое звено называется консервативным. На практике ТАУ их нет.

ω _р = ω ₀, φ (ω) = - π → (-180˚)

Переходная характеристика h(t) – незатухающие гармонические колебания (синус.)