![]() Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Приведение уравнений кривых и поверхностей
второго порядка к каноническому вид у
Теорема 7.7. Для любой квадратичной формы на действительном евклидовом пространстве ► Пусть на евклидовом пространстве
и пусть А – матрица квадратичной формы k в этом базисе. Тогда А – симметричная, а значит, существует такая ортогональная матрица Т, что матрица
такой, что Т – матрица перехода от (7.7) к (7.8). Если Ã – матрица квадратичной формы k в базисе (7.8), то Замечание. Диагональными элементами матрицы А' являются собственные значения матрицы А. Определение. Линейное невырожденное преобразование переменных называется ортогональным, если его матрица ортогональна. Теорема 7.8. Любую действительную квадратичную форму можно привести к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования переменных (иная формулировка теоремы 7.7). Следствия. 1. Для того чтобы действительная квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения ее матрицы были положительными. 2.Для любой поверхности второго порядка в трехмерном пространстве существует ортонормированная система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением. Для любой кривой второго порядка на плоскости существует ортонормированная система координат, в которой эта кривая задается каноническим уравнением. Пример. Определить вид кривой второго порядка, приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту кривую, если исходное уравнение кривой имеет вид
▼ 1. Приводим к каноническому виду квадратичную часть уравнения (т. е. квадратичную форму) с помощью ортогонального преобразования переменных. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные значения:
Для нахождения первого собственного вектора решаем систему линейных уравнений с матрицей
2. По матрице T записываем линейное невырожденное преобразование переменных:
Подставляем выражение переменных по формулам (7.9) в исходное уравнение. При этом квадратичная часть переходит в известный нам канонический вид, свободный член не меняется, а чтобы узнать, как изменится линейная часть, следует непосредственно подставить формулы (7.9) в уравнение, раскрыть скобки и привести подобные. Замечание. На самом деле коэффициенты линейной части есть линейные комбинации координат векторов Таким образом, после преобразования (7.9) приходим к уравнению
которое равносильно следующему:
3. Преобразуем это уравнение: и применим к нему преобразование параллельного переноса: После этого уравнение кривой принимает вид
откуда видно, что исследуемая кривая – парабола.
4. Приступаем к рисованию. На одном рисунке изображаем и старую систему координат, и новую. При преобразовании параллельного переноса начало координат переходит в точку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Как видите, приведение к каноническому виду даже кривой второго порядка – занятие достаточно трудоемкое. Попробуем его упростить хотя бы в некоторых случаях. Лемма 7.2. Для того чтобы начало координат было центром симметрии кривой второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при первых степенях переменных в ее уравнении равнялись нулю. ► Обозначим
Необходимость. { О – центр симметрии кривой Ф}
Рассмотрим два случая. а) Кривая Ф не является сдвоенной прямой. Тогда на ней можно выбрать две точки
причем б) Ф – сдвоенная прямая Достаточность очевидна, так как уравнение кривой Ф имеет вид
Обозначим
Теорема 7.9. Для того чтобы точка
► Пусть
|