💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Сопряженный линейный оператор

Лемма. 7.1. Пусть и – линейные операторы. Если для всех векторов евклидова пространства выполняется одно из условий или , то .

►

(объясните каждый шаг в цепочке рассуждений). Второе утверждение доказывается аналогично.◄

Определение. Линейный оператор называется сопряженным линейному оператору , если

.

Теорема 7.2. Для любого линейного оператора существует единственный сопряженный ему оператор . При этом если А – матрица оператора в некотором ортонормированном базисе пространства , то матрица оператора в том же базисе совпадает с матрицей .

► Доказываем теорему так же, как в свое время доказывали аналогичную теорему для обратного линейного оператора. Все доказательства проводим для комплексного пространства. Для действительного доказательство изменится только тем, что не будет комплексного сопряжения.

Единственность. Предположим, что некоторый линейный оператор имеет два сопряженных: и . Так как

и ,

то на основании доказанной леммы 7.1 = .

Существование. Выберем в какой-либо ортонормированный базис

(7.3)

и обозначим А матрицу оператора в этом базисе. Значит, существует линейный оператор , матрица которого в базисе (7.3) совпадает с матрицей . Выберем теперь произвольные векторы и обозначим и соответственно их координатные столбцы в базисе (7.3). В том же базисе координатные столбцы векторов и совпадают соответственно со столбцами и . На основании правила вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе получаем

.

Таким образом, = на основании леммы 7.1.◄

Упражнение. Пусть оператор в двух базисах пространства имеет матрицы и соответственно. Докажите: если матрица линейного оператора в первом из этих базисов совпадает с , то во втором матрица этого оператора совпадает с .