Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Свойства ортогональных и унитарных матриц
|
|
ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Некоторые сведения о матрицах
Ортогональные и унитарные матрицы
Определение. Комплексная квадратная матрица А называется унитарной, если 
. Множество всех унитарных матриц n -го порядка будем обозначать 
.
Следствия. 1. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.
► Из определения следует: 
, значит, 
.◄
2. 
.
В силу равносильности любое из этих равенств может служить определением унитарной матрицы.
Определение. Действительная квадратная матрица 
называется ортогональной, если 
. Множество всех ортогональных матриц n -го порядка будем обозначать 
.
Следствия. 1. 
.
2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1.
3. 
.
Каждое из этих равенств опять же может служить определением ортогональной матрицы.
Свойства ортогональных и унитарных матриц
1º. 
. 1'. 
.
2º. 
. 2'. 
.
3º. 
. 3'. 
.
► Докажем, например, первое свойство для унитарных матриц (для ортогональных доказательство отличается только тем, что отсутствует комплексное сопряжение).
.◄
Теорема 7.1 о матрице перехода. Пусть в евклидовом пространстве 
заданы: ортонормированный базис
(7.1)
и ещё какой-либо базис
. (7.2)
Для того чтобы базис (7.2) был ортонормированным, необходимо и достаточно, чтобы матрица Т перехода от (7.1) к (7.2) была унитарной для комплексного евклидова пространства, и ортогональной для действительного.
► Доказательство проводим для комплексного случая. Если 
и 
– матрицы Грама базисов (7.1) и (7.2) соответственно, то 
и 
. Тогда
{(7.2) – ортонормированный} 
.◄
|
|