Распределение Пуассона при радиометрических измерениях

В гл. 3 отмечалось, что радиоактивный распада является случайным процессом, а число распадов за некоторый интервал времени n является случайной величиной, которая распределена по закону биноминального распределения. Если за время распада изменением числа радиоактивных ядер можно пренебречь, то биноминальное распределение переходит в распределение Пуассона, для которого вероятность распада n ядер выражается уравнением (3.19).

При регистрации радиоактивного излучения уравнение (3.19) переходит в аналогичное:

, (7.1)

где P (n) – вероятность регистрации n импульсов; – математическое ожидание (среднее значение) числа импульсов.

Замечательным свойством распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии

. (7.2)

Из уравнения (7.2) следует, что при регистрации радиоактивного излучения нет необходимости дополнительного определения дисперсии измеряемой величины: одно измерение позволяет одновременно определить и измеряемую величину, и ее дисперсию. Необходимо отметить, что распределению Пуассона подчиняется только число измеряемых импульсов n, а не скорость счета или другие величины, рассчитываемые по значениям n.

Распределение Пуассона является дискретным и несимметричным относительно среднего значения. Однако уже при ñ =30 оно с хорошей точностью может быть аппроксимировано нормальным распределением. Тогда можно построить доверительный интервал для числа зарегистрированных импульсов:

, (7.3)

где u _p – квантиль нормального распределения для доверительной вероятности P; σ – стандартное среднеквадратичное отклонение, которое в соответствии с (7.2) равно .

В табл. 7.1 приведены значения квантилей u_p, доверительных вероятностей P и название соответствующих видов ошибок.

Таблица 7.1