Теорема Умова-Пойтинга и законы сохранения

Энергия электромагнитного поля, запасаемая в единице объема , представляет собой сумму энергии электрического поля и магнитного поля . Тогда полную энергию электромагнитного поля в объеме V запишем в виде:

, (1.13)

где

,

.

Энергия электромагнитного поля W, запасенная в объеме V в единицу времени, может быть затрачена на излучение из объема и наведение токов проводимости, если есть в объеме проводники. Потери на излучение с элемента поверхности характеризуются вектором Умова-Пойтинга - , а омические потери – законом Ома - . Вектор Умова-Пойтинга определяется как векторное произведение напряженностей электрического и магнитного поля. Физически модуль вектора Умова-Пойтинга представляет собой интенсивность излучаемого электромагнитного поля I (Вт/м²). Другими словами модуль вектора Умова-Пойтинга представляет собой энергию поля, запасаемую в единицу времени в объеме в виде цилиндра с площадью основании в 1 м² и образующей равной м.

С учетом этих двух механизмов потерь нетрудно записать закон сохранения для электромагнитного поля, запасенного в объеме V в единицу времени, как:

. (1.14)

Средняя по времени электрическая энергия, фиксируемая приемником:

.

Составляющие с частотой равны нулю. Тогда:

(1.15)

Аналогично для вектора Умова-Пойтинга среднее значение:

. (1.16)

В случае «идеальной» среды () поток вектора Умова-Пойтинга постоянен:

(1.17)

Для электрического поля скалярный потенциал U связан с напряженностью электрического поля E:

. (1.18)

Для магнитного поля векторный потенциал A:

. (1.19)

Подставляя (1.19) в (1.2) при M = 0 получим:

. (1.20)