Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Элементы теории. Пусть отрезок [a, b] разбит на n частей точками xi : a = x0 < x1 < x2 < < xn = b






     

    Пусть отрезок [ a, b ] разбит на n частей точками xi: a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b. Сплайном k -ой степени называется функция, представляющая собой многочлен k -ой степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов (xi-1 ; xi), i = 1, 2, …, n, причем в точках стыка двух интервалов xi, i = 1, 2, …, n-1 функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше k.

    Пусть на отрезке [ a, b ] определена функция f(x), значения которой в точках xi равны yi = f(xi). Задача интерполяции функции y = f(x) на отрезке
    [ a, b ] кубическим сплайном (сплайном 3-ей степени) состоит в нахождении функции Si(x), равной многочлену 3-ей степени на каждом отрезке [ xi-1 , xi ],
    i = 1, 2, …, n, то есть

    , (1)

    причем значения сплайна в узлах интерполяции xi равны соответствующим значениям заданной функции yi и сплайн-функция непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными 1-го и 2-го порядка:

    (2)

    (3)

    Условия (2) дают 4n-2 линейных алгебраических уравнения для определения 4n неизвестных коэффициентов , p = 0, 1, 2, 3, i = 1, 2, …, n при соответствующих степенях х в многочленах Si(x). Можно показать, что интерполяционный кубический сплайн для функции y = f(x) существует и является единственным, если вместе с уравнениями (2) удовлетворяется какая-либо пара дополнительных условий (краевых условий) следующего типа:

    I. ,

    II. .

    Рассмотрим случай разбиения отрезка [ a, b ] на n равных частей с шагом h, для которого x0 = a, x1 = x0 + h, …, xi+1 = xi + h, …, xn = b и
    h = (b – a)/n. Рассмотрим построение интерполяционного кубического сплайна для условий I типа.

    Введем величины , называемые иногда наклонами сплайна в точках (узлах) xi, i = 1, 2, …, n.

    Интерполяционный кубический сплайн вида:

    (4)

    удовлетворяет условиям (2) для любых mi. Из условий (3) и краевых условий I типа можно определить n+1 параметр mi.

    Действительно, прямыми вычислениями легко проверить, что

    ,

    .

    Можно показать, что

    ,

    .

    Тогда, учитывая краевые условия I типа и условия (3), получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных mi:

    (5)

    Решение этой системы позволяет найти значения неизвестных mi и определить интерполяционный сплайн в виде соотношений (4). Матрица коэффициентов системы (5) имеет порядок n+1 и является трехдиагональной:

    .

    Метод Гаусса (метод исключения переменных) для системы (5) значительно упрощается и носит название метода прогонки. Прямой прогонкой находят так называемые прогоночные коэффициенты:

    ,

    Обратной прогонкой последовательно определяют неизвестные mi:

    При построении сплайна, удовлетворяющего краевым условиям II типа, введем величины - значение второй производной сплайна в узлах xi, i = 0, 1, …, n. Уравнения (2), (3) будут удовлетворены, если интерполяционный кубический сплайн представить в виде:

    , (6)

    .

    Учитывая, что

    и используя краевые условия II типа и условия равенства производных в узлах. получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных ni:

    (7)

    Система (7), как и система (5), относятся к линейным алгебраическим системам с трехдиагональной матрицей коэффициентов и решаются методом прогонки.

    Для функции f(x), имеющей на отрезке [ a, b ] непрерывные производные до 3-го порядка включительно, точность интерполяции ее кубическим сплайном S(x) по точкам равномерного разбиения отрезка с шагом h при любых рассмотренных краевых условиях оценивается следующим неравенством для любых х на отрезке [ a, b ]:

    , где . (8)

    Неравенство (8) дает завышенную оценку точности приближения функции сплайном в точке.

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.