Элементы теории. Пусть функция y = f(x) определена таблицей:

Пусть функция y = f(x) определена таблицей:

Значения аргументов x_i, i = 0, 1, …, n называются узлами интерполяции. Задачей интерполяции является построение многочлена L(x), значения которого в узлах интерполяции x_i равны соответствующим значениям заданной функции, то есть L(x_i) = y_i, i = 0, 1, …, n. Интерполяционной формулой Лагранжа называется формула, представляющая многочлен L(x) в виде:

,

где p_i (x) – многочлен степени n, принимающий значение равное единице в узле x_i и нулю в остальных узлах x_k, k ¹ i и имеющий вид:

.

Многочлен L(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа и его степень не превышает числа n.

Если функция f(x) на отрезке [ x₀ , x_n ] имеет непрерывные производные до (n + 1) -го порядка включительно, то погрешность интерполяционной формулы в каждой точке этого отрезка оценивается неравенством:

,

где , .