Порядок выполнения работы. Пример. Функция f(x) определена таблицей

Пример. Функция f(x) определена таблицей

Требуется аппроксимировать функцию у = f(x) алгебраическими многочленами наилучшего среднеквадратичного приближения Q_n(x), n = 0 ¸ 4 и оценить погрешности каждого приближения.

Вид рабочего листа MS Excel приведен на рисунке.

1. В диапазоне A2: F13 оформляем таблицу для вычисления функций g_k(x), в которой также рассчитаем квадраты этих функций. Одновременно в диапазоне A15: F19 оформим таблицу для квадратов норм функций g_k(x), коэффициентов a, a_k, b_k, коэффициентов Фурье C_k. В диапазонах А2: А13 и А15: А19 размещаем заголовки строк. В диапазон А2: F3 копируем заданную таблицей функцию f(x). В диапазоне B4: F4 задаем функцию g₀(x) = 1 при всех x. В диапазоне В15: F15 задаем номера приближений от 0 до 4. Вычисляем квадраты значений функций g_k(x): ячейка В9 = " =B4^2" и протягиваем формулу в диапазон В9: F13. Вычисляем квадраты норм функций g_k(x) по формуле : ячейка В16 = " =СУММ(B9: F9)" (квадрат нормы g₀), ячейка C16 = " =СУММ(B10: F10)" (квадрат нормы g₁), ячейка D16 = " =СУММ(B11: F11)" (квадрат нормы g₂), ячейка E16 = " =СУММ(B12: F12)" (квадрат нормы g₃), ячейка F16 = " =СУММ(B13: F13)" (квадрат нормы g₄).

Вычисляем коэффициент а по формуле : ячейка С17 = " =СУММ(B2: F2)/5". Определяем значения функции g₁ (х) = x - a: ячейка В5 = " =B2-$C$17" и протягиваем формулу в диапазон C5: F5. При этом автоматически вычисляется квадрат нормы функции g₁.

Вычисляем коэффициент : ячейка D17 = " =СУММ(B2: F2*B10: F10)/C16". Здесь использована операция перемножения соответствующих элементов двух диапазонов. После ввода формулы необходимо перенести курсор в строку формул и одновременно нажать Ctrl+Shift+Enter. После этого выражение в строке формул заключается в фигурные скобки, что является признаком операции над массивами. Вычисляем коэффициент : ячейка D18 = " =СУММ(B2: F2*B4: F4*B5: F5)/B16" (использована операция над массивами). Определяем значения функции : ячейка В6 = " =(B2-$D$17)*B5-$D$18*B4" и протягиваем формулу в диапазон C6: F6. При этом автоматически вычисляется квадрат нормы функции g₂.

Вычисляем коэффициент : ячейка E17 = " =СУММ(B2: F2*B11: F11)/D16" (использована операция над массивами). Вычисляем коэффициент : ячейка Е18 = " =СУММ(B2: F2*B5: F5*B6: F6)/C16" (использована операция над массивами). Определяем значения функции : ячейка В7 = " =(B2-$E$17)*B6-$E$18*B5" и протягиваем формулу в диапазон C7: F7. При этом автоматически вычисляется квадрат нормы функции g₃.

Вычисляем коэффициент : ячейка F17 = " =СУММ(B2: F2*B12: F12)/E16" (использована операция над массивами). Вычисляем коэффициент : ячейка F18 = " =СУММ(B2: F2*B6: F6*B7: F7)/D16" (использована операция над массивами). Определяем значения функции : ячейка В8 = " =(B2-$F$17)*B7-$F$18*B6" и протягиваем формулу в диапазон C8: F8. При этом автоматически вычисляется квадрат нормы функции g₄.

По формуле (4) вычисляем коэффициенты Фурье: ячейка В19 = " =СУММ(B3: F3*B4: F4)/B16" (коэффициент С₀), ячейка С19 = " =СУММ(B3: F3*B5: F5)/C16" (коэффициент С₁), ячейка D19 = " СУММ(B3: F3*B6: F6)/D16" (коэффициент С₂), ячейка E19 = " =СУММ(B3: F3*B7: F7)/E16" (коэффициент С₃), ячейка F19 = " =СУММ(B3: F3*B8: F8)/F16" (коэффициент С₄ ). Здесь использованы операции над массивами.

2. Оформляем таблицу для вычисления значений многочленов наилучшего приближения. В диапазоне А21: А26 располагаем заголовки строк. В диапазон В21: F21 копируем значения аргумента х. Воспользуемся преобразованным вариантом вычисления значений многочленов:

.

Ячейка В22 = " =$B$19*B4" и протягиваем формулу в диапазон C22: F22 (значения Q₀ (x)). Ячейка В23 = " =B22+$C$19*B5" и протягиваем формулу в диапазон C23: F23 (значения Q₁ (x)). Ячейка В24 = " =B23+$D$19*B6" и протягиваем формулу в диапазон C24: F24 (значения Q₂ (x)). Ячейка В25 = " =B24+$E$19*B7" и протягиваем формулу в диапазон C25: F25 (значения Q₃(x)). Ячейка В26 = " =B25+$F$19*B8" и протягиваем формулу в диапазон C26: F26 (значения Q₄(x)).

3. Определяем оценку точности приближений. Сначала вычисляем квадрат нормы функции f(x) по формуле : ячейка В28 = " =СУММ(B3: F3*B3: F3)" (использована операция над массивами). Воспользуемся преобразованным вариантом вычисления квадрата наименьшего среднеквадратичного отклонения аппроксимационных многочленов:

.

Ячейка В30 = " =B28-B19^2*B16" (вычисление d²(f, Q₀ )), С30 = " =B30-C19^2*C16" (вычисление d²(f, Q₁ )), протягиваем формулу из С30 в диапазон D30: F30 (вычисление d²(f, Q_n)). По формуле вычисляем оценку точности полученных приближений: ячейка В31 = " =КОРЕНЬ(B30/$B$28)" и протягиваем формулу в диапазон С31: F31. Теоретически d²(f, Q₄ ) = 0, но в силу округления ЭВМ последнего разряда чисел может получится значение d²(f, Q₄ ) незначительно отличающееся от нуля, в частности, отрицательное. Это приведет к ошибке вычисления корня в ячейке F31. В этом случае в ячейке F31 аргумент корня можно взять по модулю (функция ABS).

4. Строим графики полученных приближений по массиву данных A21: F26 с помощью мастера диаграмм, используя точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаженными значениями без маркеров, и применяя соответствующее форматирование. Многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения Q₄(x) проходит через все пять заданных точек функции, так как является многочленом 4-го порядка. Поэтому можно графически оценивать точность полученных приближений меньших порядков по расхождению их графиков с графиком функции Q₄(x) = f(x).