Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Элементы теории.
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y:
Ставится задача об отыскании аналитической зависимости между x и y, то есть некоторой формулы y = f(x), явным образом выражающей y, как функцию х. Естественно требовать, чтобы график искомой функции y = f(x) изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек Эту задачу можно решить, используя метод наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК указывается вид эмпирической формулы y = Q(x, a0 , a1 , …, an), где a0 , a1 , …, an – числовые параметры. Наилучшими значениями параметров a0 , a1 , …, an, которые обозначим , считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функции y = Q(x, a0 , a1 , …, an) от экспериментальных точек (xi, yi), i = 1, 2, …, m является минимальной, то есть функция в точке достигает минимума. Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров : . Если система имеет единственное решение , то оно является искомым и аналитическая зависимость между экспериментальными данными определяется формулой: . В общем случае система уравнений для определения оптимальных значений параметров нелинейна. Рассмотрим аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами . В частном случае аппроксимации экспериментальных данных с помощью линейной функции имеем: . Система уравнений для определения оптимальных параметров аппроксимирующей прямой в этом случае линейна относительно неизвестных k и b: Ее решением является: . Пусть для переменных x и y соответствующие значения экспериментальных данных (xi, yi) не располагаются вблизи прямой. Тогда можно выбрать новые переменные X = j (x, y) и Y = y (x, y) так, чтобы преобразованные экспериментальные данные Xi = j (xi, yi) и Yi = y (xi, yi) в новой системе координат (X, Y) давали точки (Xi, Yi), менее уклоняющиеся от прямой Рассмотрим шесть вариантов преобразования переменных, в которых возможно явное выражение переменной y из уравнения
Условием выбора наилучшей эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных данных от графика полученной зависимости, которое в каждом варианте выравнивания данных определяется величиной: . Для наилучшей эмпирической формулы величина dj, j = 0¸ 6 является наименьшей, j = 0 соответствует случаю, когда преобразования переменных не производится, то есть Xi = xi и Yi = yi. Качество подгонки данных к прямой можно оценить с помощью коэффициента регрессии: . Известно, что | r | £ 1. Чем ближе | r | к единице, тем ближе зависимость между X и Y к линейной функциональной. Естественно, что если не удается удовлетворительно построить функциональную зависимость, используя вид эмпирической формулы с двумя параметрами, то можно продолжать поиски среди формул с большим числом параметров.
|