Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Элементы теории. Интегральное среднеквадратическое приближение






Quot; Интегральное среднеквадратическое приближение

функций тригонометрическими многочленами"

Элементы теории

 

Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция f(x) и определена система функций gk(x), k = 0, 1, 2, … Обобщенным многочленом (полиномом) порядка n относительно системы функций gk(x) называют функцию вида:

,

где С0 , С1 , …, Сn – некоторые постоянные.

Обобщенный многочлен Qn(x) называют многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции f(x) на отрезке [ a, b ], если расстояние от многочлена до функции f(x) по среднеквадратичной норме наименьшее:

. (1)

Таким образом, сформулирована задача об интегральном среднеквадратичном приближении (аппроксимации) функции f(x) на отрезке [ a, b ] обобщенным многочленом, которая сводится к выбору коэффициентов С0 , С1 , …, Сn из условия (1).

Задача нахождения многочлена наилучшего приближения Qn(x) функции f(x) на отрезке [ a, b ] упрощается, если система функций gk(x) обладает свойством ортогональности на отрезке [ a, b ].

Скалярным произведением функций gi(x) и gj(x) на отрезке [ a, b ] называется интеграл от их произведения на этом отрезке:

.

Число является нормой функции gi(x) на отрезке [ a, b ], а функция f(x), для которой существует интеграл , называется интегрируемой с квадратом на отрезке [ a, b ].

Функции gi(x) и gj(x) называется ортогональными на отрезке [ a, b ], если их скалярное произведение на этом отрезке равно нулю:

.

Система функций gk(x) называется ортогональной на отрезке [ a, b ], если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке.

Коэффициенты С0 , С1 , …, Сn обобщенного многочлена называются коэффициентами Фурье функции f(x) относительно системы функций gk(x), если они определяются по формулам:

. (2)

Теорема. Для любой функции f(x), интегрируемой с квадратом на отрезке [ a, b ], обобщенный многочлен n -го порядка Qn(x) с коэффициентами Фурье функции f(x) относительно ортогональной на отрезке [ a, b ] системы функций gk(x), k = 1, 2, … является многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения этой функции, причем квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением:

, (3)

где Сk коэффициенты Фурье, вычисленные по формуле (2).

Из (3) видно, что с увеличением порядка обобщенного многочлена среднеквадратичное отклонение не увеличивается.

Пусть задана система тригонометрических функций на отрезке [ -l, l ]:

(4)

Тригонометрическим многочленом n -ой степени называют обобщенный многочлен по системе тригонометрических функций, имеющий вид:

, (5)

где С0 , С1 , …, Сn, D1 …, Dn – некоторые числа.

Система тригонометрических функций ортогональна на отрезке
[ -l, l ].

На основании теоремы для функции f(x), интегрируемой с квадратом на отрезке [-l, l], тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен

(6)

где коэффициенты Фурье по системе тригонометрических функций для функции f(x) определяются формулами (2) и имеют вид:

(7)

Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующего многочлена от функции f(x), вычисляемое по формуле (3), в данном случае имеет вид:

(8)

Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к норме аппроксимируемой функции , характеризует точность приближения и обозначается

(9)

В частном случае, когда f(x) – четная функция на отрезке [ -l, l ], тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения записывается в виде:

, (10)

где коэффициенты Фурье

(11)

Для нечетной функции f(x) на отрезке [ -l, l ] тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения записывается в виде:

, (12)

Тригонометрический многочлен (6) с коэффициентами Фурье (7) представляет собой n -ю частичную сумму ряда Фурье, сходящегося к функции f(x) на отрезке [ -l, l ]:

. (13)






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.