Группа,поле, кольцо

Опр.Группы непустое множество M- группа, если:

1. на опред-на бинар. алгебр. оп-я ;

2. - ассоц., т.е. ;

3. в : ( - нейтр. эл-т);

4. : ( - симметр. эл-ту ).

Св-ва:

1. нейтральный эл-т в группе определен однозначно: .
2. определен однозначно (об. )
3. уравнения вида x°a=b и a°x=b имеют единственное решение

Пр-р: 1. Z, +, 0, -a

+: Z, Q, R, C – аддитивные группы

*: Q*, R*, C* - мультипликативные группы (Q*={Q}-{0})

Группа наз-ся абелевой если операция коммутативна. :

Опр Пусть G - группа, подмножество H≠ 0 в G называется подгруппой, если H группа относительно индуцированной операции. (H устойчиво относительно индуцированной операции, в нем есть нейтральный и для каждого сущ симметричный) Пример: G=(Z, +) H=(2Z, +).

Опр Кольца:. Мн-во с двумя алгебр. операторами + и * - кольцо, если:

1. - абелева группа; 2. выполн. дистрибутивность: , ;

3. умножение ассоциативно. пример Z, +, * - коммутат кольцо с 1; 2Z, +, * - коммутат кольцо без 1

Опр. - кольцо с единицей, если нейтральный эл-т 1 относит. умнож., т.е. . /Пр-р кольца без единицы – кольцо чет. чисел/.

Опр. Кольцо наз-ся коммутативным, если умножение коммутативно ().

Опр. Подкольцо — это подмножество кольца, содержащее мультипликативную единицу и само являющееся кольцом относительно тех же бинарных операций.

Более строго, если есть кольцо , называется подкольцом , если оно является кольцом относительно сужения + и * на S, а также содержит ту же мультипликативную единицу, что и . Подкольцо — это просто подгруппа , содержащая единицу и замкнутая относительно умножения.

Например, кольцо целых чисел является подкольцом поля вещественных чисел и подкольцом кольца многочленов .

Опр Поля. Полем наз-ся коммутатив. кольцо с единицей , содерж не менее двух элементов, в котором любой элемент кроме нуля обратим.

Пр-ры: P принадл С, P={0, 1}

Опр. Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1) сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый

2) умножения на скаляр (то есть элемент поля P)

При этом удовлетворяются следующие условия:

1) коммутативность сложения

2) ассоциативность сложения

3) существование нейтрального элемента относительно сложения

4) существование противоположного элемента.

5) ассоциативность умножения на скаляр

6) умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор.

7) дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров

8) дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов.