Понятие численного интегрирования

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является важной составной частью математического моделирования площадей и объемов, значений работы, произведенной некоторыми силами и многие другие технические задачи. Напомним, что геометрический смысл простейшего определенного интеграла

от f (x) ³ 0, как известно, состоит в том, что значение величины I – это площадь, ограниченная кривой y = f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b

Во многих случаях, когда функция f (x) в (1) задана в аналитическом виде, определенный интеграл вычисляется непосредственно с помощью неопределенного интеграла (посредством первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница:

Однако формулой (2) на практике можно воспользоваться не всегда, а именно:

– когда вид f (x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразная F (x) не выражается в элементарных функциях;

– если значения f (x) заданы в табличной форме.

Универсальным подходом для решения поставленной задачи является использование методов численного интегрирования, основанных на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов различных степеней.

Следует подчеркнуть, что основная идея численного интегрирования заложена уже в определении известного интеграла Римана от f (x), формально записанного в виде (1). Напомним суть этого определения.

Пусть вещественная функция f (x) определена и ограничена на интервале [ a, b ]. Разобьем его на n произвольных частичных интервалов [ x_i, x_i ₊₁], 0£ i £ n –1, x ₀ = a, x_n = b.

Выберем в каждом частичном интервале произвольную точку x, x_i £ x£ x_i ₊₁ и составим, так называемую, интегральную сумму (рис. 6.1).

Если предел S при стремлении длины наибольшего частичного интервала к нулю существует для произвольных x _i, то его называют интегралом Римана от f (x):

Тогда сумма (3) и дает простейший пример численного интегрирования. А ее верхняя S ₂ и нижняя S ₁ суммы определяют величину погрешности S, а именно:

Существующие на практике формулы численного интегрирования, по существу, отличаются от (3) только явным указанием способов:

3) оценки погрешности посредством дополнительной информации о поведении f (x) (например, что f (x) Î C ²[ a, b ]).

В качестве рабочего инструмента численного интегрирования вводится понятие квадратурной формулы для (1). Для этого обобщим понятие интегральной суммы (3). Точки x _i (рис. 6.1), в которых вычисляются значения f (x) называются узлами, а коэффициенты (x_i ₊₁– x_i) в (3) заменяют некоторыми числами q_i, не зависящими от f (x), называемыми весами. Формула (3) заменяется следующей:

Очевидно, что интеграл (1) согласно (5) следует записать в виде:

Формула (7) и называется квадратурной формулой, а R в (7) – погрешностью квадратурной формулы. При наличии альтернативы при выборе численных методов интегрирования следует заметить, что каждая конкретная квадратурная формула считается заданной, если указано, как выбирать x _i, соответствующие веса q_i, а также методика оценки погрешности R для определенных классов функций.