Понятие численного интегрирования

Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является важной составной частью математического моделирования площадей и объемов, значений работы, произведенной некоторыми силами и многие другие технические задачи. Напомним, что геометрический смысл простейшего определенного интеграла

, (1)

от f (x) ³ 0, как известно, состоит в том, что значение величины I – это площадь, ограниченная кривой y = f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b

Рис. 6.1

Во многих случаях, когда функция f (x) в (1) задана в аналитическом виде, определенный интеграл вычисляется непосредственно с помощью неопределенного интеграла (посредством первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница:

. (2)

Однако формулой (2) на практике можно воспользоваться не всегда, а именно:

– когда вид f (x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразная F (x) не выражается в элементарных функциях;

– если значения f (x) заданы в табличной форме.

Универсальным подходом для решения поставленной задачи является использование методов численного интегрирования, основанных на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов различных степеней.

Следует подчеркнуть, что основная идея численного интегрирования заложена уже в определении известного интеграла Римана от f (x), формально записанного в виде (1). Напомним суть этого определения.

Пусть вещественная функция f (x) определена и ограничена на интервале [ a, b ]. Разобьем его на n произвольных частичных интервалов [ x_i, x_{i +1}], 0£ i £ n –1, x ₀ = a, x_n = b.

Выберем в каждом частичном интервале произвольную точку x, x_i £ x£ x_{i +1} и составим, так называемую, интегральную сумму (рис. 6.1).

. (3)

Если предел S при стремлении длины наибольшего частичного интервала к нулю существует для произвольных x _i, то его называют интегралом Римана от f (x):

. (4)

Тогда сумма (3) и дает простейший пример численного интегрирования. А ее верхняя S ₂ и нижняя S ₁ суммы определяют величину погрешности S, а именно:

(5)

Существующие на практике формулы численного интегрирования, по существу, отличаются от (3) только явным указанием способов:

1) выбора x_i, x _i;

2) ускорения сходимости в (4);

3) оценки погрешности посредством дополнительной информации о поведении f (x) (например, что f (x) Î C ²[ a, b ]).

В качестве рабочего инструмента численного интегрирования вводится понятие квадратурной формулы для (1). Для этого обобщим понятие интегральной суммы (3). Точки x _i (рис. 6.1), в которых вычисляются значения f (x) называются узлами, а коэффициенты (x_{i +1} – x_i) в (3) заменяют некоторыми числами q_i, не зависящими от f (x), называемыми весами. Формула (3) заменяется следующей:

, (6)

где a £ x _i £ b.

Очевидно, что интеграл (1) согласно (5) следует записать в виде:

. (7)

Формула (7) и называется квадратурной формулой, а R в (7) – погрешностью квадратурной формулы. При наличии альтернативы при выборе численных методов интегрирования следует заметить, что каждая конкретная квадратурная формула считается заданной, если указано, как выбирать x _i, соответствующие веса q_i, а также методика оценки погрешности R для определенных классов функций.