Формула Симпсона. Рассмотрим интервал [–h, h], h > 0

Рассмотрим интервал [ –h, h ], h > 0. Предположим, что f (x) Î C ⁴[– h, h ].

Для соотношения (7) возьмем три узла x₀ = x_{i –1} = – h, x₁ = x_i =0, x₂ = x_{i +1}= h. Соответствующие им весовые коэффициенты получим из аппроксимации f (x) параболой, построенной на точках (– h, f (– h)), (0, f (0)), (h, f (h)) в виде квадратного многочлена y = ax ² + bx + c. Для получения коэффициентов a, b и c построим многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через выбранные точки:

.

Вычисляем интеграл:

(16)

Тогда соотношение (7) запишется в виде:

(17)

и называется формулой Симпсона (парабол).

Доказано, что погрешность для формулы Симпсона оценивается соотношением:

, (18)

где xÎ [– h, h ].

Из соотношения (18) следует, что квадратурная формула Симпсона точна для полиномов третьей степени.

Отметим, что при применении простейших квадратурных формул требуются вычисления значения подынтегральных функций f (x):

а) в одной точке – для формулы прямоугольников;

б) в двух точках – для формулы трапеций;

в) в трех точках – для формулы Симпсона.

Однако, несмотря на малый объем вычислений, область практических применений простейших квадратурных формул ограничена лишь малыми интервалами, поскольку при увеличении h погрешность становится значительной, как видно из формул для погрешностей, что и выдвигает необходимость использования т.н. составных квадратурных формул.