Понятие точной квадратурной формулы

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Для некоторых классов функций можно записать квадратурные формулы с погрешностью R º 0 сразу для всего класса. Такие квадратурные формулы называются точными. Для иллюстрации этого рассмотрим

на интервале [ a, b ]. Определим на [ a, b ] произвольные попарно различные узлы x _i, 0 £ i £ m. Искомое точное соотношение для данной функции f (x) будет иметь вид согласно (7):

Полином P_m (x) в левой части (8) можно записать в виде интерполяционного многочлена:

Тогда условие (8) позволяет найти значения для весов q_i при 0 £ i £ m

Если взять произвольные различные узлы x _i на [ a, b ] и вычислить (9), то соотношение (8) имеет место, т.е.

является точной.

Следует заметить, что формула (8) может оказаться точной для полиномов степени большей, чем m. Это достигают специальным выбором узлов x _i на отрезке [ a, b ], 0 £ i £ m, что построено Гауссом для полиномов степени 2 m + 1.

Практический смысл точных квадратурных формул появляется для таких классов f (x), которые могут быть хорошо аппроксимированными полиномами на интервале [ a, b ].

Тогда применяя точную формулу к f (x), есть надежда получить малую погрешность R в (7) для рассматриваемого класса функций.