Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Понятие точной квадратурной формулы
|
|
Для некоторых классов функций можно записать квадратурные формулы с погрешностью R º 0 сразу для всего класса. Такие квадратурные формулы называются точными. Для иллюстрации этого рассмотрим
f (x) = Pm (x) = a 0 + a 1 x +...+ amxm
на интервале [ a, b ]. Определим на [ a, b ] произвольные попарно различные узлы x i, 0 £ i £ m. Искомое точное соотношение для данной функции f (x) будет иметь вид согласно (7):
. (8)
Полином Pm (x) в левой части (8) можно записать в виде интерполяционного многочлена:
.
Тогда условие (8) позволяет найти значения для весов qi при 0 £ i £ m
, (9)
Если взять произвольные различные узлы x i на [ a, b ] и вычислить (9), то соотношение (8) имеет место, т.е. 
является точной.
Следует заметить, что формула (8) может оказаться точной для полиномов степени большей, чем m. Это достигают специальным выбором узлов x i на отрезке [ a, b ], 0 £ i £ m, что построено Гауссом для полиномов степени 2 m + 1.
Практический смысл точных квадратурных формул появляется для таких классов f (x), которые могут быть хорошо аппроксимированными полиномами на интервале [ a, b ].
Тогда применяя точную формулу к f (x), есть надежда получить малую погрешность R в (7) для рассматриваемого класса функций.
|
|