Понятие точной квадратурной формулы

Для некоторых классов функций можно записать квадратурные формулы с погрешностью R º 0 сразу для всего класса. Такие квадратурные формулы называются точными. Для иллюстрации этого рассмотрим

f (x) = P_m (x) = a ₀ + a ₁ x +...+ a_mx^m

на интервале [ a, b ]. Определим на [ a, b ] произвольные попарно различные узлы x _i, 0 £ i £ m. Искомое точное соотношение для данной функции f (x) будет иметь вид согласно (7):

. (8)

Полином P_m (x) в левой части (8) можно записать в виде интерполяционного многочлена:

.

Тогда условие (8) позволяет найти значения для весов q_i при 0 £ i £ m

, (9)

Если взять произвольные различные узлы x _i на [ a, b ] и вычислить (9), то соотношение (8) имеет место, т.е. является точной.

Следует заметить, что формула (8) может оказаться точной для полиномов степени большей, чем m. Это достигают специальным выбором узлов x _i на отрезке [ a, b ], 0 £ i £ m, что построено Гауссом для полиномов степени 2 m + 1.

Практический смысл точных квадратурных формул появляется для таких классов f (x), которые могут быть хорошо аппроксимированными полиномами на интервале [ a, b ].

Тогда применяя точную формулу к f (x), есть надежда получить малую погрешность R в (7) для рассматриваемого класса функций.