Вычисление обратных матриц

1. По методу Гаусса. Всякая неособенная матрица, для которой , имеет обратную матрицу. Очевидно, что А * А ^–1 = Е. запишем это равенство в виде системы n уравнений с n неизвестными

; (37)

где а_ik – элементы матрицы А;

z_kj – элементы обратной матрицы (А ^–1);

d_ij – элементы единичной матрицы.

При этом d_ij =

Для нахождения элементов одного столбца обратной матрицы необходимо решить соответствующую линейную систему (37) с матрицей А. Так для получения j -го столбца для А ^–1 (z _{1 j ,} z _{2 j}, … z_nj) решается система:

(38)

Следовательно для обращения матрицы А нужно n раз решить систему (38) при j = . Поскольку матрица А системы не меняется, то исключение неизвестных осуществляется только один раз, а (n –1) раз при решении (38) делается только обратный ход с соответствующим изменением правой ее части.

2. Другой подход к определению обратной матрицы А^–1

,

где D – определитель матрицы, А_ij – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.