Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Интерполирование функций. Пусть известны значения функции f в некоторых точках: x x0 x0 x0 (1) x0 f(x) y0 y0 y0
|
|
Постановка задачи
Пусть известны значения функции f в некоторых точках:
| x | x0 | x0 | x0 | … |
| ||
| f(x) | y0 | y0 | y0 | … | y0 |
Требуется получить y=f(x) для x Ï [ x0, xn ], где x ¹ xi. При этом аналитическое выражение
· не пригодно ля вычислений либо
· неизвестно.
В этом случае строим приближающую функцию F(x)» f(x), такую что F(x) = f(x) при x=xi (i=0, 1, …, n), т.е. F(x0)=y0, F(x1)=y1, …, F(xn)=yn (2)
Нахождение приближенной функции называется интерполяцией (интерполированием), точки x0, x1, …, xn узлами интерполяции.
Будим искать функцию F(x) в виде многочлена степени n:
Pn(x) = a0 xn + a1 xn-1 + … + an-1 x + an
Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Наложим на него n+1 условий (2). Таким образом можно однозначно определить коэффициенты многочлена.
Рассмотрим получившуюся систему уравнений: 
.
Ее определитель (определитель Вандермонда) отличен от нуля:
Значит, интерполяционный многочлен Pn(x) для функции f, заданной таблично, существует и единственный. При этом какие-то коэффициенты могут равняться нулю (в том числе и a0); следовательно, интерполяционный многочлен имеет степень не большую, чем n.
|
|