Метод простой итерации. Функцию r(x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если

Функцию r (x, y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если

1) r (x, y)³ 0

2) r (x, y)=0 • x=y

3) r (x, y)= r (y, x)

4) r (x, y)£ r (x, z)+ r (z, y).

Множество X с введенной метрикой r назовем метрическим пространством.

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если .

Пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.

Отображение F пространства E в себя называется сжимающим, если

x – неподвижная точка, если F(x)=x.

Оценка расстояния между неподвижной точкой и приближением x ^(k) производится следующим образом:

или .

Таким образом, чтобы погрешность вычислений была меньше наперед заданного числа ε, достаточно потребовать .

Рассмотрим 3 типа метрики.

Пусть x(x₁, x₂, …, x_n) и y(y₁, y₂, …, y_n) – две точки n -мерного пространства.

I. Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по строкам, должна быть меньше единицы:

II. Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по столбцам, должна быть меньше единицы:

III. Корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при неизвестных в правой части системы, должен быть меньше единицы:

СЛУ преобразуется таким образом, чтобы по одной из метрик выполнялось α < 1.

При этом СЛУ задает отображение, которое при α < 1 будет сжимающим. Значит, взяв любую точку в качестве начального приближения, получим последовательность точек, которая будет сходиться к неподвижной точке; это точка и будет решением системы.

Чтобы привести СЛУ к итерационному виду нужно:

1) с помощью равносильных преобразований привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами (по абсолютной величине);

2) разделить все уравнения на соответствующие диагональные коэффициенты и выразить из каждого уравнения неизвестное с коэффициентом, равным единице.

Если для этой системы α < 1, то система задает сжимающее отображение.

Рассмотрим на примере:

Решим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Преобразуем систему к итерационному виду, для чего поменяем местами 1-ую строку со 2-ой, после чего каждую строку разделим на соответствующие диагональные элементы.

Проверим, будет ли отображение сжимающим:

Запишем формулы для решения системы методом итераций:

Блок-схема метода простой итерации:

n: =n+1 y1: =… y2: =… y3: =… x1: =y1 x2: =y2 x3: =y3               + Ввод x1, x2, x3, α, ε начало p< b Вывод x1, x2, x3, N конец

Программа решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом простой итерации (с евклидовой метрикой):

program slu_iter;

var p, b, x1, x2, x3, y1, y2, y3, a, e: real;

N: integer;

begin

write('Введите x1, x2, x3: '); readln(x1, x2, x3);

write('Введите A, E: '); readln(a, e);

b: =e*(1-a)/a;

N: =0; {число итераций}

Repeat N: =N+1;

y1: = 0.1362*x2-0.1790*x3+16.1433;

y2: =-0.2238*x1+0.0909*x3+25.3154;

y3: = 0.1739*x1+0.2875*x2+21.3777;

p: =sqrt(sqr(x1-y1)+sqr(x2-y2)+sqr(x3-y3));

x1: =y1; x2: =y2; x3: =y3;

until p< =b;

writeln('x1 = ', x1: 8: 6);

writeln('x2 = ', x2: 8: 6);

writeln('x3 = ', x3: 8: 6);

writeln('Число итераций - N = ', N);

readln

end.