Пример решения уравнений методом простой итерации в пакете Mathcad

Решить уравнение е^х ∙ (2 – х) – 0, 5 = 0 методом простой итерации с точностью ε = 0, 5 · 10^-4.

1. Отделяем корни уравнения графическим методом с точностью до 0, 1. Для данного уравнения корень отделен на отрезке [1, 5; 2, 5]

2. Приводим исходное уравнение к виду х = φ (х). Для этого заменим уравнение исходное уравнение уравнением вида х = x – m · f(x). Здесь величина m должна быть подобрана так, чтобы для функции φ (х) выполнились условия 2 и 3 теоремы о достаточном условии сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть уравнение х = φ (х) имеет единственный корень на отрезке [ a; b ] и выполняются условия:

1) φ (х) определена и дифференцируема на отрезке [ a; b ];

2) φ (х) [ a; b ] для всех х [ a; b ];

3) существует такое число q, что для всех х [ a; b ]. Тогда итерационная последовательность x_n = φ (x_{n- 1}) (n = 1, 2, …) сходится при любом начальном приближении x₀.

Производная f′ (x) на отрезке [1, 5; 2, 5] отрицательна, следовательно, на этом отрезке функция f(x) монотонно убывает, ее значения представлены на рисунке:

Тогда значения функции φ (х) будут равны: φ (1, 5)=1, 5 – m ·1, 74084; φ (2, 5) = 2, 5 – m ·(-6, 59125)

Учитывая монотонность функции φ (х), из последних равенств легко заметить, что условие 2 теоремы будет выполняться, если m – правильная отрицательная дробь.

Найдем производную f′ (x) на отрезке [1, 5; 2, 5].

Модуль производной имеет максимум в точке 2, 5. Тогда если за m принять число , то для любого х из отрезка [1, 5; 2, 5] значение выражения будет правильной отрицательной дробью. Это обеспечит выполнение условия 2 теоремы:

Для выполнения условия 3 теоремы найдем производную преобразованной функции и ее значения на концах отрезка [1, 5; 2, 5]:

Условие 3 теоремы выполнено: значения производных меньше единицы. Выберем число q как наибольшее значение производной:

3. Вычисляем значения итерационной последовательности x_n = φ (x_{n- 1}). В качестве начального приближения возьмем, например, начало отрезка, точку х₀ = 1, 5.

Критерий достижения заданной точности находится следующим образом:

4. Строим итерационную последовательность:

Для 26-го приближения получили, что .

Отсюда следует, что х₂₅ = 1, 9272 является приближенным решением заданного уравнения с точностью ε = 0, 5 · 10^-4.