Диференціал функції, його застосування до наближених обчислень. Рівняння дотичної до графіка функції.

Пригадаємо означення диференційовної функції. А саме, функція диференційовна у точці , якщо її приріст у цій точці може бути подано у вигляді (див. п.4):

,

де при . Далі ми встановили, що .

Перший доданок виразу для є лінійним відносно , тобто пропорційний з коефіцієнтом пропорційності . А другий доданок є нескінченно малою вищого порядку, ніж при . Він не є лінійним відносно . Якщо мале число, то цей доданок буде значно меншим, ніж перший. Тому перший, лінійний відносно доданок, називають головною частиною приросту функції. При малих величина приросту буде визначатися, головним чином, саме цим доданком. Цей доданок отримав назву диференціала функції і позначається . Таким чином, за означенням:

.

Покладемо в цій рівності , тоді , і , тобто диференціал незалежної змінної збігається з її приростом. З урахуванням цього:

.

Така форма запису диференціала найбільш поширена. Зокрема з неї випливає рівність:

.

Розглянемо приклади:

1. Знайти диференціал функції .

Маємо:

.

2. Знайти диференціал функції

а) при довільних і

б) при .

Маємо:

а) .

б) .

Всю таблицю похідних (п. 7) можна переписати як таблицю диференціалів:

Відмітимо деякі важливі властивості диференціалів:

,

,

.

Ці властивості безпосередньо випливають з відповідних властивостей похідних. Ще одна, особливо важлива, властивість диференціала випливає з правила диференціювання складеної функції. А саме, розглянемо складену функцію і знайдемо її диференціал:

.

Тобто диференціал 1-го порядку зберігає свою форму запису незалежно від того, чи є незалежною змінною, чи є функцією іншої змінної. Ця властивість диференціала називається його інваріантністю.

Застосування диференціала у наближених обчисленнях.

Розглянемо приріст диференційовної функції у точці :

, де при . Або:

.

Як вже відмічалося, доданок при малих значно менший, ніж доданок . Тому при певних умовах ним можна нехтувати, і тоді отримуємо наближену рівність:

.

Позначивши: , цю рівність можна переписати так:

. (10.1)

Ця формула є основою для наближених обчислень. Користуються нею так: нехай треба наближено знайти значення функції у точці , тобто . Шукають іншу точку , яка не дуже значно відрізняється від точки (тобто величина мала), у якій відомо точне значення функції , а також відомо значення похідної цієї функції. І тоді значення наближено знаходять за формулою (10.1).

Приклади. Розглянемо функцію . Тоді . Покладемо , де – деяке мале за модулем число. Тоді формула (10.1) набуває вигляду:

.

Цю формулу можна використовувати як наближену для обчислення квадратних коренів. Користуючись нею, знайдемо наближено . Маємо:

.

Наближене з точністю до 5-ти знаків після коми значення: .

2. Розглянемо функцію . Формула (10.1) дає:

.

Обчислимо, наприклад, . Візьмемо: , і тоді:

.

Наближене з точністю до 5-ти знаків після коми значення: 0, 77017.

Формулою (10.1) користуються, як правило, тоді, коли потрібна не дуже висока точність обчислень. В протилежному випадку користуються іншими формулами, які забезпечують вищу точність. Відповідні питання розглядаються в курсах чисельних методів.

Геометричний зміст диференціала тісно пов’язано з дотичною до графіка функції. Розглянемо графік диференційовної у точці функції (рис. 19).

Рис. 19.

Проведемо в точці дотичну. Рівняння її в формі з кутовим коефіцієнтом має вигляд:

, де (пригадаємо геометричний зміст похідної). Оскільки ця пряма проходить через точку , її рівняння набуває вигляду:

. (10.2)

Це й є рівняння дотичної до графіка функції.

Надамо значенню приріст . Тоді функція отримає приріст . Лінійна функція (10.2), яка є рівнянням дотичної, також отримає приріст:

, а це не що інше, як диференціал функції у точці . На рис.19 це довжина катета в прямокутному трикутнику . У цьому ж трикутнику: .

Таким чином, з геометричної точки зору диференціал функції в точці означає приріст ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці .

З’ясуємо тепер механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка рухається вздовж координатної прямої. Позначимо через – координату точки у момент часу (рис.3, п.1). Тоді згідно з механічним змістом похідної – це миттєва швидкість точки у момент . Добуток , тобто саме , дає шлях, який пройшла б точка за проміжок часу , якби рухалася прямолінійно і рівномірно зі сталою швидкістю . Це й є механічний зміст диференціала. Фактично ж шлях , який пройдено точкою за проміжок часу , відрізняється від на нескінченно малу (при ) вищого порядку, ніж . Але, якщо досить мале, то швидкість не встигає суттєво змінитися, і рух точки на проміжку є майже рівномірним.

Приклади.

1. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у точці .

Користуючись рівнянням (10.2), отримаємо:

, і таким чином шукане рівняння має вигляд:

.

Або:

.

2. Координати точки у момент часу виражається формулою: . Знайти наближено шлях, який пройдено точкою від моменту часу до моменту часу .

Маємо: ,

.

Справжній шлях дорівнює:

.