Похідна складеної та оберненої функцій.

Розглянемо питання про похідну складеної функції .

Теорема. Нехай функція диференційовна у точці , а функція диференційовна у відповідній точці . Тоді складена функція диференційовна у точці , і має місце формула:

. (6.1)

Доведення. Оскільки функція диференційовна у точці , то її приріст у цій точці має вигляд:

, де при . Оскільки функція диференційовна у точці , то її приріст у цій точці має вигляд:

, де при . Тоді:

.

Поділимо обидві частини цієї рівності на і перейдемо до границі при . Тоді внаслідок неперервності функції , що у свою чергу випливає з її диференційовності, і отже . Тоді маємо:

,

Або:

.

Теорему доведено.

Приклади.

1. Знайдемо похідну функції . Ця функція є суперпозицією функцій і . Таким чином за формулою (6.1) маємо:

.

2. Знайти похідну функції .

Це теж суперпозиція функцій і . Тому:

.

Розглянемо тепер питання про похідну оберненої функції.

Теорема. Нехай функція задовольняє умови:

1) ,

2) функція строго монотонна на ,

3) функція диференційовна на ,

4) .

Тоді існує обернена функція , диференційовна на інтервалі , причому :

. (6.2)

Доведення. Існування функції , оберненої для функції , випливає з строгої монотонності функції . Оскільки функція диференційовна, отже неперервна на , то функція неперервна та строго монотонна на (див. «Вступ до аналізу»). Нехай . Надамо цьому значенню приріст так, щоб . Функція отримає приріст . Очевидно, що якщо , то внаслідок строгої монотонності функції . Тому:

. (6.3)

Нехай , тоді внаслідок неперервності функції . За умовою 3) теореми існує , і внаслідок умови 4) та рівності (6.3) маємо:

.

Теорему доведено.

Ця теорема має простий геометричний зміст. Розглянемо графік функції (рис. 13). Та ж сама лінія буде і графіком функції . З геометричного змісту похідної випливає, що:

.

Рис. 13.

Але , тобто .