Правило Лопіталя.

На підставі теореми Коші можна отримати важливе правило для обчислення границь функцій у випадках різних типів невизначеностей

Теорема (правило Лопіталя^*). Нехай функції визначені і диференційовні на інтервалі , причому , , і : . Тоді, якщо існує границя ,, то існує границя , і ці границі рівні між собою, тобто

.

Доведення. Нехай . Довизначимо функції та в точці , покладаючи: . Тоді з умов теореми випливає, що функції та неперервні на відрізку . Тоді вони задовольняють всі умови теореми Коші, згідно якій існує точка така, що

. (13.1)

Якщо , то , і внаслідок умов теореми існує . Тому з рівності (13.1) випливає існування .

Зауваження 1. Теорема зберігає силу і випадках, коли та .

Зауваження 2. Теорема справедлива і тоді, коли або , якщо , при , та існує . І у цьому випадку існує . Дійсно, розглянемо:

.

Приклад. Знайти границю .

Маємо невизначеність типу . Застосуємо правило Лопіталя (або, як жартівливо кажуть математики, «пролопітуємо»).

.

Зауваження 3. Якщо похідні задовольняють ті самі умови, що й функції , то правило Лопіталя можна застосувати ще раз. Тоді матимемо:

.

І взагалі, при виконанні відповідних умов, правило Лопіталя можна використовувати доти, поки не прийдемо до зникнення невизначеності.

Приклад.

.

За допомогою правила Лопіталя можна розкривати і невизначеності типу .

Теорема. Нехай функції визначені і диференційовні при , причому при , , .

Тоді, якщо існує , то існує , і виконується рівність:

.

Доведення цієї теореми ми не наводимо^*. Зауважимо тільки, що вона легко розповсюджується на випадки , , .

Приклади.

1. Знайти

.

Цю границю можна обчислити і без використання правила Лопіталя шляхом ділення чисельника і знаменника почленно на . Правило Лопіталя в цій ситуації дає:

.

2. Знайти .

Маємо невизначеність типу , тому за правилом Лопіталя маємо:

.

З цього факту випливає, що логарифмічна функція зростає повільніше, ніж будь яка степенева функція з додатним показником.

3. Знайти

.

Знову маємо невизначеність типу . Застосуємо правило Лопіталя, причому декілька разів. Розглянемо два випадки.

а). . Застосуємо правило Лопіталя разів. Отримаємо:

.

б). . Позначимо: (через позначено цілу частину числа ). Тоді . «Пролопітуємо» разів. Отримаємо:

.

З цього факту випливає, що експонента зростає швидше, ніж будь яка степенева функція з додатним показником.

За допомогою правила Лопіталя можна розкривати і невизначеності інших типів шляхом зведення їх до невизначеностей типу або .

Приклади.

1. .

Тут невизначеність типу . Зведемо її до невизначеності типу , після чого використаємо правило Лопіталя:

.

2. .

Тут невизначеність типу . Зведемо до невизначеності та «пролопітуємо»:

.

3. .

Тут невизначеність типу . Зведемо до невизначеності типу за допомогою логарифмування.

.

Обчислимо тепер границю . Це невизначеність типу . Зведемо її до невизначеності типу та «пролопітуємо»:

.

Отже .

4. .

Маємо невизначеність типу . Шляхом логарифмування зведемо її до невизначеностей інших типів:

.

Далі:

.

Отже наша границя дорівнює .