Правила диференціювання.

Теорема. Якщо функції диференційовні в точці , то функції також диференційовні у точці , і мають місце формули:

,

,

.

Якщо додатково , то функція також диференційовна у точці , і має місце формула:

.

Доведення. Для суми функцій маємо:

.

Аналогічно доводиться, що .

Далі розглянемо:

.

Тут ми скористалися тим, що , оскільки функція неперервна у точці внаслідок її диференційовності у цій точці.

З цієї формули випливає наступний корисний результат: якщо , то

, тобто сталий множник можна виносити за знак похідної.

І нарешті доведемо формулу для похідної частки:

.

Знову тут скористалися тим, що , оскільки функція неперервна у точці внаслідок її диференційовності у цій точці.

Наслідок. Якщо функції диференційовні в точці , та – сталі, то

.

Тобто похідна лінійної комбінації диференційовних функцій дорівнює такій самій лінійній комбінації похідних даних функцій.