Техніку диференціювання.

Розглянемо таку задачу: знайти похідну функції . Як її знайти? З одного боку це функція не є степеневою, оскільки у неї показник змінний, а у степеневої функції – сталий. І тому формулу похідної степеневої функції використовувати не можна. А з другого боку ця функція не є й показниковою, оскільки у неї основа теж змінна, а у показникової функції основа стала. І тому формулу похідної показникової функції використовувати ми також не маємо права.

Такого типу функції називаються показниково– степеневими. І знаходити їх похідні доцільно за допомогою так званого логарифмічного диференціювання. Полягає воно в наступному. Розглянемо функцію таку, що . Візьмемо від цієї функції натуральний логарифм і продиференцюємо отриману таким чином складену функцію:

.

Звідси отримаємо:

.

Це й є формула логарифмічного диференціювання. Вона стверджує, що похідна функції дорівнює цій самій функції, яку помножено на похідну її натурального логарифму. А похідну від логарифму функції у деяких випадках взяти простіше, ніж похідну від самої функції.

Приклади.

1. Знайти похідну функції .

Знайдемо похідну логарифму цієї функції:

.

Отже згідно з нашою формулою:

.

2. Розглянемо більш загальний випадок, а саме знайдемо похідну функції

.

Маємо:

.

Звідси:

.

Зокрема, наприклад:

.

Логарифмічним диференціюванням є сенс користуватися і в інших випадках.

3. Знайти похідну функції

.

Взагалі кажучи, цю функцію можна було б продиференціювати і безпосередньо, використовуючи формули для похідних частки і добутку. Але це приведе до дуже громіздких викладок. Доцільніше скористатися логарифмічним диференціюванням. Отже:

,

,

.

Далі ми розглянемо низку прикладів на знаходження похідних функцій, тобто на техніку диференціювання.

Приклади. Знайти похідні функцій.

1. .

.

2. .

.

3. .

.

Тут використали формули для похідних частки і добутку.

Далі розглянемо приклади на диференціювання складеної функції.

4. .

.

5. .

.

Як бачимо, іноді доводиться диференціювати функції багатократної складеності, тобто такі, в яких внутрішня функція у свою чергу уявляє собою складну функцію. І тоді похідна від цієї внутрішньої функції теж береться як похідна складеної функції. Наприклад, якщо , то . Розглянемо такий, декілька неприродний приклад: знайти похідну функції:

.

Маємо:

.

Диференціювання функцій такого типу нагадує автору казку про Чаклуна Невмирущого. Його смерть була на голці, яка була в яйце, яке було в качці, яка була в зайці, який сидів у скрині, яка висіла на дубі. І щоб вбити Чаклуна, треба було звалити дуб, розбити скриню, вбити зайця, вбити качку, розбити яйце і нарешті зламати голку. Приблизно за таким «алгоритмом» послідовного діставання і диференціюється складена функція.