Формула Тейлора.

У розділі «Вступ до аналізу» ми навели класифікацію елементарних функцій. Одним з найпростіших класів функцій є клас многочленів. Нагадаємо, що многочленом (або поліномом) степеня називається функція вигляду:

.

Многочлени дуже зручні з точки зору обчислювання їх значень. Для цього потрібна лише скінченна кількість арифметичних дій – множення та додавання. Можна використовувати, наприклад, схему Горнера. Для многочлена 4-го степеня, зокрема, вона має вигляд:

.

Решта функцій (наприклад, такі, як та ін.) з цієї точки зору набагато складніші. Для обчислювання їх значень вже недостатньо скінченного числа арифметичних дій. У зв’язку з цим виникає запитання: чи можна довільну функцію, хоча б наближено, подати у вигляді многочлена? Цьому питанню, зокрема, і присвячено цей параграф.

Розглянемо функцію і припустимо, що у деякій точці вона має похідні до -го порядку включно, тобто існують , , …, . Поставимо задачу: знайти многочлен степеня такий, що у точці він сам і його похідні до -го порядку включно відповідно дорівнюють значенням у цій точці функції та її похідних, тобто:

,

,

…

,

.

Якщо це буде виконано, то при певних умовах можна буде очікувати, що у точках, достатньо близьких до точки , значення такого многочлена будуть не дуже відрізнятися від значень функції .

Шукатимемо цей многочлен у вигляді:

,

тобто не за степенями , а за степенями .

Знайдемо послідовно похідні:

,

,

,

…

,

…

,

.

Покладемо в цих рівностях і дорівняємо до відповідних значень функції та її похідних в точці :

,

,

,

,

…

,

…

,

.

Звідси:

, , , , …,

,..., , .

Таким чином шуканий многочлен має вигляд:

.

Цей многочлен називається многочленом Тейлора ^[2] функції .

Якщо функція сама є многочленом степеня не вище, ніж , то між нею і многочленом Тейлора виконується точна рівність:

.

Але у загальному випадку виконання такої рівності ми не можемо стверджувати. Ми можемо очікувати лише наближену рівність:

.

Точність цієї рівності залежить від величини різниці:

,

яка називається залишковим членом. Існує декілька виразів (форм запису) цього залишкового члена. Ми доведемо одну з них, яка називається формою Лагранжа. Але спочатку доведемо наступну лему.

Лема 1. Нехай функції та визначені в -околі точки та задовольняють наступні умови:

1) ,

2) ,

3) : .

Тоді існує точка , яка розташована між точками та , така, що

.

Доведення. Нехай для визначеності . Тоді за теоремою Коші маємо:

, .

, .

Тобто

, .

Застосовуючи теорему Коші послідовно до функцій та , та , …, та на відповідних відрізках, отримуємо:

, де , що й треба було довести.

Аналогічно розглядається випадок, коли .

Теорема 1. Нехай існує таке, що функція має в -околі точки похідні до -го порядку включно. Тоді існує точка , яка розташована між точками та , така, що

.

Доведення. Нехай , – многочлен Тейлора для функції , . За побудовою многочлена Тейлора виконано: , отже .

Розглянемо функції , . Ці функції задовольняють всі умови леми, отже

, де точка розташована між точками та (тут скористалися тим, що похідна -го порядку від многочлена -го степеня є тотожним нулем). Звідси маємо:

, (14.1) звідки й отримуємо твердження теореми.

Форма (14.1) залишкового члена формули Тейлора й називається формою Лагранжа. Існують також інші форми запису залишкового члена. До розгляду однієї з них ми зараз переходимо.

Лема 2. Якщо для функція має в точці похідні до -го порядку включно, і виконано умови:

, то при .

Доведення проведемо методом математичної індукції по числу . Нехай . Тоді . Розглянемо:

, що й означає, що при . Припустимо тепер, що твердження леми справедливе для , і доведемо його справедливість для . За умовою леми виконано:

.

Тоді для функції виконано:

, і за припущенням індукції:

.

За теоремою Лагранжа маємо:

, де точка міститься між точками та . Оскільки , то

, а тоді , що й треба було довести.

Теорема 2. Якщо існує , то

, (14.2) де – многочлен Тейлора для функції .

Доведення. Нехай – залишковий член формули Тейлора. Оскільки існує , то існує , причому:

, звідки на підставі леми 2 отримуємо , і теорему доведено.

Формула (14.2) називається формулою Тейлора з залишковим членом в формі Пеано ^[3] .

Приклад. Розкласти функцію за степенями до члена з .

Знайдемо:

,

,

,

.

За формулою (14.2) при маємо:

.