Параметрично задані функції та їх диференціювання.

У всіх задачах, що розглядалися вище, ми мали справу з функціями, аналітичне задання яких має вид: . Тобто за кожним значенням , знаючи функцію, ми можемо знайти відповідне значення функції . Така формула називається явною. Вона задає безпосередню залежність змінної від змінної . Разом з цим часто доводиться мати справу з іншими видами аналітичного задання функції. Зокрема, з так званим параметричним заданням. Полягає воно в тому, що між змінними та не встановлюється безпосередня залежність, а кожна з цих змінних задається як функція третьої змінної , яка називається параметром:

.

Розглянемо приклади:

1. Нехай точка рухається по координатній площині від моменту часу до моменту . Траєкторією її є деяка лінія на цій площині. (рис.14). Координати точки змінюються з часом: тобто у кожен момент часу точка має свої координати. Тому ми можемо сказати, що координати точки є функціями часу:

Рис. 14.

.

Ці рівняння задають у параметричному вигляді лінію як траєкторію руху точки . У якості параметра тут виступає час. Такий опис руху матеріальної точки широко використовується у задачах механіки.
2. Коло.

Розглянемо коло радіуса з центром у початку координат (рис.15).

Рис. 15.

Якщо – довільна точка кола, то її прямокутні декартові координатні пов’язано рівнянням: . З’єднаємо точку з початком координат радіусом і позначимо через кут, який цей радіус утворює з додатним напрямом осі . Тоді

.

Це й є параметричні рівняння кола.

3. Еліпс.

Розглянемо еліпс з півосями (рис. 16). Рівняння цього еліпса у прямокутній декартовій системі координат має вигляд:

.

Рис. 16.

Як і у випадку кола, з’єднаємо довільну точку на еліпсі радіусом з початком координат і позначимо через кут, який цей радіус утворює з додатним напрямом осі . Тоді можемо отримати параметричні рівняння еліпса:

.

Від явного задання функції завжди можна перейти до параметричного:

.

Але від параметричного рівняння до явного перейти вдається далеко не завжди. Можливо це тоді, коли рівняння вдається розв’язати відносно змінної : . Тобто до функції знайти обернену . Тоді, підставляючи її до другого параметричного рівняння, отримаємо: , тобто перейшли до явного рівняння.

Існують лінії, рівняння яких найчастіше задається саме у параметричній формі.

4. Циклоїда.

Розглянемо у прямокутній декартовій системі координат коло з центром у точці і радіусом (рис. 17).

Рис. 17.

Тоді вісь буде дотичною до цього кола. Тепер припустимо, що коло котиться вздовж осі . Яку траєкторію буде описувати точка на колі? Такою траєкторією буде лінія, яка називається циклоїдою. Її параметричні рівняння мають вид:

.

Тут у якості параметра виступає кут повороту кола. Якщо він змінюється на проміжку , тобто коло повертається на , то описується перша арка циклоїди, якщо , то описуються дві арки тощо.

Розглянемо питання про диференціювання параметрично заданої функції:

.

Теорема. Нехай функції задовольняють умови:

1) ці функції неперервні на і неперервно диференційовні на ,

2) .

Тоді має місце рівність:

.

Доведення. З того, що на та з неперервності функції випливає, що на або , або . Тоді функція строго монотонна на , і має обернену функцію , причому:

.

Тоді , і за формулою для похідної складеної функції маємо:

.

Приклад. Знайти , якщо .

Ці рівняння описують так звану астроїду (рис. 18).

Рис. 18.

Маємо:

.

Ще один спосіб аналітичного задання функції – так званий неявний спосіб. Тут залежність між змінними та задається у вигляді деякого рівняння, яке пов’язує ці змінні:

.

Щоб продиференціювати таку функцію, потрібно взяти похідну від обох частин останньої рівності, вважаючи функцією від , і отримане рівняння розв’язати відносно . Похідна від неявної функції виражається через незалежну змінну і саму функцію .

Приклад. Знайти , якщо .

Візьмемо похідну від обох частин цієї рівності:

.

Або:

.

Звідси:

.

Більш детально питання про неявні функції та їх диференціювання розглядатиметься в розділі «Диференціальне числення функцій багатьох змінних».