Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Нахождение оценок параметров распределения
В тех случаях, когда параметры распределения случайной переменной Х неизвестны, их оценивают на основе экспериментальных или статистических данных. Поскольку значения оценок зависят от вошедших в выборку значений случайной величины, постольку они являются также случайными величинами. Оценки по возможности должны обладать свойствами: состоятельностью, несмещенностью и эффективностью. Оценку называют состоятельной, если при неограниченном увеличении числа наблюдений n она стремится по вероятности к значению а. Если она при этом не дает систематической ошибки, т. е. если выполняется условие М = а, то такую оценку называют несмещенной. Несмещенную оценку называют эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими несмещенными оценками параметра а. Оценки параметров распределения чаще всего находят, пользуясь методом моментов или методом наибольшего правдоподобия. Метод моментов в большинстве случаев более простой и им удобно пользоваться. Он заключается в том, что искомые числовые характеристики распределения выражают через моменты низших порядков, которые затем заменяют их оценками, полученными по результатам наблюдений. Количество составленных таким образом уравнений должно равняться числу оцениваемых параметров распределения. Решая совместно эти уравнения, получают требуемые оценки. Применение метода иллюстрируется ниже при нахождении параметров гамма-распределения. Метод моментов иногда приводит к малоэффективным оценкам. Метод наибольшего (максимального) правдоподобия часто требует более сложных вычислений, чем метод моментов, однако лучше пользоваться им, так как он всегда приводит к состоятельным, асимптотически нормальным и асимптотически эффективным оценкам. Иногда оценки могут иметь небольшое смещение. Метод наибольшего правдоподобия предполагает принятие в качестве оценки неизвестного параметра такого его значения, появление которого на основе имеющихся данных наиболее вероятно. По методу наибольшего правдоподобия в качестве оценки параметра, от которого зависит плотность вероятности, принимают такое его значение, при котором достигает максимума функция правдоподобия. L= f(x1) f(x2) …f(xn) = П f(xi) (9.19) где x1, x2 …xn - результаты n независимых наблюдений исследуемой случайной величины; f(xi) - плотность распределения, определяемая формулой в соответствии с принятой моделью распределения. Для нахождения максимума возьмем частную производную ln L по и приравняем ее нулю (9.20) Решая это уравнение относительно , находим оценку максимального правдоподобия. Если плотность распределения определяется несколькими параметрами, то оценки находят, беря частные производные от логарифма функции правдоподобия но каждому из искомых параметров, приравнивая эти производные нулю и решая совместно полученные уравнения относительно параметров. Контрольные вопросы: 1. Законы распределения параметров, характеризующих адекватное функционирование математической модели объекта, интегральная функция распределения. 2. Характеристики распределений, математическое ожидание и среднее значение случайной величины, плотность распределения величины. 3. Что называют начальным и центральным моментоми s-ного порядка дискретной случайной величины Х. 4. Дисперсия и средне квадратическое отклонение случайной величины. 5. Нахождение оценок параметров распределения: метод моментов, метод наибольшего (максимального) правдоподобия
|