Построение минимального автомата

Пусть Â = (A, B, Q, j, y) - это произвольный автомат и Q = { q ₁,..., q _n}. Отношение неотличимости состояний автомата Â разбивает Q на классы неотличимых состояний: Q ₁,..., Q _d.

Определим множество состояний Q ^* = { q ¹,..., q ^d}. Содержательно всякое состояние q ⁱ соответствует классу неотличимых состояний Q _i.

Определим две вспомогательные функции

h: Q ® { 1,..., d } и x: { 1,..., d } ® { 1,..., n }следующими соотношениями:

1) " q _j Î Q (h(q _j) = i Û q _j Î Q _i);

2) " j = 1,..., d (x(j) = i Û i = ).

Отображение h преобразует состояния автомата Â в номера классов неотличимых состояний, содержащих эти состояния.

Отображение h сопоставляет всякому классу неотличимых состояний состояние этого класса с наименьшим индексом.

Определим автомат Á = (A, B, Q ^*, F, Y). Функции F и Y этого автомата задаются соотношениями:

1) " a Î A, q ⁱ Î Q ^*(F(a, q ⁱ) = q ^{h(j( a , q x (i))});

2) " a Î A, q ⁱ Î Q ^*(Y(a, q ⁱ) =y(a, q _x(i))).

То есть всякий шаг работы автомата Á из состояния q ⁱ для произвольного входного символа аналогичен шагу работы автомата Â из состояния q _{x( i )} для такого же входного символа.

Указанное соответствие представлено на рис. 7.8.

Q _i