Приведение квадратичной формы к главным осям

Теорема. (о приведении квадратичной формы к главным осям). Любую квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования переменных можно привести к каноническому виду.

Доказательство. Матрица А квадратичной формы симметрична, а для симметричной матрицы найдется ортогональная матрица Q такая, что матрица Q^{- 1} AQ диагональна. Подвергнув квадратичную форму ортогональному преобразованию с матрицей Q, мы приведем ее к каноническому виду. ■

Теорема. Квадратичная форма с помощью ортогонального преобразования переменных приводится к каноническому виду, коэффициентами которого являются корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы, взятые с их кратностями.

Доказательство. Пусть квадратичная форма f некоторым ортогональным преобразованием переменных приведена к каноническому виду

Легко видеть, что ортогональное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов переменных, поэтому

Квадрат определителя ортогональной матрицы равен 1. А определитель матрицы преобразованной квадратичной формы отличается от определителя матрицы исходной квадратичной формы на квадрат определителя матрицы линейного преобразования. Отсюда,

. ■

Следствие. Для любой ортогональной матрицы, приводящей к диагональному виду симметрическую матрицу, на главной диагонали полученной диагональной матрицы располагаются характеристические корни симметрической матрицы, взятые с их кратностями.

Пример. Приведите к главным осям квадратичную форму

Матрица квадратичной формы имеет вид

А = .

Найдем ее характеристический многочлен

Матрица А имеет трехкратный характеристический корень 1 и простой характеристический корень – 3. Таким образом,

–

канонический вид, к которому квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием.

Для нахождения ортогонального преобразования, осуществляющего это приведение, необходимо найти собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в некотором ортонормированном базисе является матрица А. При для этого надо решить однородную систему линейных уравнений

Ранг системы равен 1 и поэтому фундаментальная система решений состоит из трех решений. Например,

b ₁ = (1, 1, 0, 0),

b ₂ = (1, 0, 1, 0),

b ₃ = (-1, 0, 0, 1).

Ортогонализируя эту систему, получим

с ₁ = b ₁ = (1, 1, 0, 0),

с ₂ = с ₁ + b ₂ = (, , 1, 0),

с ₃ = с ₁ + с ₃ + b ₃ = (, , , 1).

При надо решить однородную систему линейных уравнений

Ранг системы равен 3 и поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Например, с ₄ = (1, -1, -1, 1).

Нормируя ортогональную систему векторов с ₁, с ₂, с ₃, с ₄, получим ортонормированную систему векторов

Таким образом, форма приводится к главным осям ортогональным преобразованием:

Следует отметить, что ответ неоднозначен.