Задача. Дана абсолютно жесткая балка ВС, закрепленная с помощью шарнирно-неподвижной опоры «О» и 2-х податливых стержней

Дана абсолютно жесткая балка ВС, закрепленная с помощью шарнирно-неподвижной опоры «О» и 2-х податливых стержней, и нагруженная двумя силами и кН (рис. 1.1). В процессе эксплуатации оба стержня нагреваются на С. Стержень №2 изготовлен короче необходимого размера на % l. Площадь поперечного сечения стержней , МПа; коэффициент линейного расширения материала стержней , МПа.

Определить напряжения, возникающие в стержнях от каждого из действующих факторов, а также суммарные напряжения. Сделать вывод о работоспособности системы в целом.

Рис. 3.1. Исходная система

Решение:

1. Образуем основную систему (рис. 3.2):

Рис. 3.2. Основная система

2. Образуем эквивалентные системы (рис. 3.3 а, рис. 3.3 б, рис. 3.3 в):

Рис. 3.3, а. Эквивалентная система с воздействием силового фактора

Рис. 3.3, б. Эквивалентная система с воздействием температуры

Рис. 3.3, в. Эквивалентная система с неточностью изготовления

3. Для каждой эквивалентной системы запишем условие эквивалентности:

– для (эквивалентной системы – F).

(3.2)

– для (эквивалентной системы – t).

(3.3)

– для (эквивалентной системы – ).

(3.4)

Очевидно, что для всех 3-х эквивалентных систем коэффициент одинаков, так как все они построены на одной и той же основной системе.

4. Для определения коэффициентов , поочередно нагрузим основную систему единичной силой (рис. 3.4) и системой внешних сил (рис. 3.5) и получим величины продольных сил в стержнях.

Рис. 3.4. Основная система, нагруженная

;

.

; – основание: метод сечений.

.

Рис. 3.5. Основная система, нагруженная внешними силами

В данном случае работает только стержень №2, в точке его крепления возникнет реакция , которую определим из :

;

; ;

.

Решим каждое уравнение (1.2, 1.3, 1.4) относительно неизвестных , , .

;

;

.

Каждое значение поставим на соответствующую эквивалентную систему (рис. 3.3 а, рис. 3.3 б, рис. 3.3 в) и определим для каждой эквивалентной системы реакцию в точке крепления второго стержня, используя уравнение равновесия :

;

;

;

Определим напряжения в стержнях от каждого из факторов.

Продольные силы и напряжения в стержнях от силы кН.

Так как , а , то

;

.

Продольные силы и температурные напряжения в стержнях при их равномерном нагреве на .

;

;

(стержень растянут);

(стержень сжат).

Продольные силы и сборочные напряжения в стержнях в результате неточности изготовления 1-го стержня (короче на 0, 08% ).

;

;

(стержень растянут);

(стержень сжат).

Суммарные продольные усилия и напряжения в стержнях от совокупности действия факторов.

;

;

;

;

Из результатов расчета видно, что в стержне №1 развиваются напряжения растяжения, превышающие допускаемую величину. Перегруз составляет 7, 024 МПа, что в процентном соотношении от составляет: , то есть меньше допускаемого процента перегруза. Во втором стержне развивается напряжение сжатия за счет температурного воздействия и неточности изготовления, которые значительно меньше допускаемого. То есть в целом конструкция работоспособна при заданных условиях нагружения.