Главные оси и главные напряжения

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Рассмотрим множество секущих площадок, проходящих через рассматриваемую точку. По нормали к каждой площадке отложим вектор r с координатами: x = rl, y = rm, z = rn.

Выразим направляющие косинусы через координаты и длину вектора:

Подставляя эти выражения в полученную ранее формулу для напряжения на произвольной площадке, получим:

Полученное выражение является уравнением центральной поверхности второго порядка, центр которой совпадает с центром координат. При определенном положении системы координат уравнение преобразуется к виду, в котором попарные произведения xy, xz, yz исчезают. Это говорит о том, что в каждой точке нагруженного тела существует такая система координат, в которой касательные напряжения на взаимно перпендикулярных координатных площадках равны нулю. Оси такой системы координат называются главными осями, координатные площадки – главными площадками, а соответствующие им нормальные напряжения – главными напряжениями.

Главные напряжения принято нумеровать в порядке убывания, то есть

Классификация напряженных состояний в точке

По количеству главных напряжений, возникающих в точке, все напряженные состояния можно разделить на три группы:

1. Одноосное (линейное) напряженное состояние:

(ни одно из главных напряжений не равно нулю).

Наиболее распространенными в технике являются линейное и плоское напряженные состояния.

Для случая, когда отсутствуют касательные напряжения, компоненты вектора напряжений на произвольной площадке можно выразить следующим образом:

Полученное уравнение является уравнением эллипсоида. Таким образом, геометрическое место концов вектора полного напряжения представляет собой эллипсоид, полуосями которого являются главные напряжения s ₁, s ₂, s ₃:

Этот эллипсоид называется эллипсоидом напряжений и представляет собой геометрическую интерпретацию напряженного состояния в точке.