Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основные виды уравнений парной регрессии и методы определения их параметров






Выбор формулы связи (вида уравнения) называется спецификацией уравнения регрессии.

Перечислим основные виды уравнений парной регрессии:

§ Линейная зависимость ;

§ Гиперболическая зависимость ;

§ Степенная зависимость ;

§ Логарифмическая зависимость ;

§ Полиномиальная зависимость ;

§ Тригонометрическая зависимость ; где m – число гармоник; a0, ak, bk – неизвестные коэффициенты линии регрессии.

Определение параметров уравнения регрессии называется параметризацией.

Для определения неизвестных параметров уравнения регрессии обычно применяют метод наименьших квадратов (МНК). Рассмотрим функцию вида .

Алгоритм применения МНК

1. Строится целевая функция

2. Находится система уравнений для определения неизвестных параметров

Согласно МНК для нахождения параметров полинома p -ой степени необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений:

Решение этой системы относительно и дает искомые значения параметров.

 

Линейная зависимость

Для определения неизвестных параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:

. (3)

Пусть d, da, db – определители, соответствующие системе уравнений (3), а именно:

.

Тогда неизвестные коэффициенты уравнения регрессии будут равны:

.

Другое решение системы (3). Из первого уравнения следует: , а из второго – имеем:

Таким образом , .

Подставив значения а и b в формулу , получим:

 

Гиперболическая зависимость

При гиперболической зависимости параметры a и b находят, как и в случае линейной зависимости, но для уравнения регрессии , где .

 

Степенная зависимость

Для определения параметров a и b степенной зависимости необходимо преобразовать зависимость в линейную, для этого необходимо прологарифмировать обе части:

Пусть , a* = lna, x* = lnx, тогда .

Применив к зависимости МНК, находим .

Определители d, da*, db относятся к системе уравнений

, где

Значение а находим в результате потенцирования a = ea*, значение b из соотношения b = db / d.

 

Логарифмическая зависимость

Для определения параметров a и b при заданной зависимости уравнение регрессии представим в виде , где x*=lnx..

 

Параболическая зависимость

Алгоритм применения МНК для параболической зависимости второго порядка заключается в следующем:

  1. Строится целевая функция:

  1. Находится система нормальных уравнений

Система преобразуется к виду:

Решение системы нормальных уравнений относительно неизвестных параметров a, b, c можно найти, как и при линейной зависимости, с помощью определителей:

, где

 

Алгоритм применения МНК для параболической зависимости третьего порядка заключается в следующем:

 

  1. Строится целевая функция:

  1. Находится система нормальных уравнений

Система преобразуется к виду:

Решение системы нормальных уравнений относительно неизвестных параметров a, b, c, d можно найти, как и при линейной зависимости, с помощью определителей:

, где

 

Тригонометрическая зависимость

Уравнение регрессии этого вида является приближением функции y (х), которое тем точнее, чем больше значение m (m - число гармоник, количество составляющих исследуемого процесса). Поэтому при различных значениях m получаются различные виды тригонометрической зависимости.

Значения неизвестных параметров a0, ak, bk () находят с помощью метода наименьших квадратов.

Для этого строится целевая функция:

Далее находят .

Получается система нормальных уравнений. Эта система обладает свойством ортогональности.

В результате решения системы получим:

Если в качестве фактора xi рассматривается фактор времени (например, при построении тригонометрического тренда), то xi заменяем на величину , где , для помесячных данных

Таблица 1.

месяцы                        
уровни
 

Например, при k=1 тригонометрический тренд имеет вид: , где , ,

Если объем выборки N больше 12 месяцев, то для первых 12-ти месяцев изменяется от 0 до , затем в следующем году снова изменяется от 0 до , и так повторяется для каждого последующего года.

Если увеличивается число коэффициентов в уравнении регрессии при параболической и тригонометрической зависимости, то увеличится точность аппроксимации, но уменьшится значимость в результате увеличения дисперсии , где n – количество неизвестных параметров в уравнении регрессии.

При нелинейной зависимости определение тесноты связи между двумя случайными величинами х и y производится с помощью корреляционного отношения

, где .






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.