Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Распределение хи-квадрат и построение доверительных интервалов для дисперсии и среднеквадратичного отклонения нормального распределения с известным математическим ожиданием.
|
|
Пусть 
– выборка из нормального распределения с известным математическим ожиданием 
и неизвестной дисперсией 
, построим доверительный интервал для дисперсии с уровнем доверия 
.
Рассмотрим статистику 
:
.
Поскольку случайные величины 
имеют нормальное распределение 
и независимы, то статистика 
имеет распределение 
(«хи-квадрат с 
степенями свободы») и кроме того одновременно при всех реализациях выборки 
функция как функция параметра :
является непрерывной и убывающей. Таким образом, статистика является центральной статистикой для .
Для построения доверительного интервала выберем числа 
и 
так, чтобы выполнялось равенство:
.
Для выполнения равенства достаточно, например, в качестве взять квантиль уровня 
распределения , а качестве – квантиль уровня 
распределения , действительно:
,
где 
– случайная величина, имеющая распределение , и 
– функция распределения .
При таких значениях и получается так называемый «центральный интервал» (название обусловлено тем, что слева от «сосредоточена» вероятность и справа от «сосредоточена» вероятность 
). Построение «наикратчайшего» доверительного интервала, то есть нахождение чисел 
и 
с наименьшей разностью 
среди всех чисел удовлетворяющих , в данном случае является технически сложным ([1] стр. 86), поэтому на практике ограничиваются более простым «центральным интервалом».
Преобразование неравенств приводит к следующему доверительному интевалу:
,
,
.
Поскольку последнее равенство справедливо при всяком значении , то интервал:
,
где и – квантили уровней и 
распределения соответственно, является доверительным интервалом для с уровнем доверия .
Нетрудно также получить и доверительный интервал для с.к.о. 
, действительно, поскольку:
,
то
,
тогда при тех же значениях и интервал:
является доверительным интервалом для с уровнем доверия .
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение
Теорема Фишера о выборочном среднем и исправленной выборочной дисперсии. Построение доверительных интервалов для дисперсии и среднеквадратичного отклонения нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием.
Теорема 5.5. (Фишер)
Пусть 
– выборка из нормального распределения 
, статистики 
и 
, тогда:
1) Статистика 
имеет распределение 
;
2) Статистики 
и 
– независимые случайные величины.
Доказательство:
1) Преобразуем статистику следующим образом:
.
Определим вектор-столбец случайных величин 
:
,
тогда,
.
Поскольку случайные величины 
имеют нормальное распределение, то случайные величины 
также имеют нормальное распределение (как линейное преобразование нормальной случайной величины). Легко видеть, что математическое ожидание 
есть нулевой вектор:
,
и дисперсионная матрица 
является единичной матрицей 
, поскольку:
,
где 
при 
поскольку и 
независимы ( - выборка по условию теоремы).
Пусть 
– ортогональная матрица (т.е. 
, где 
– транспонированная матрица ), в которой все элементы первой строки равны 
:
| (5.1) |
Определим вектор-столбец случайных величин 
:
,
.
Каждая случайная величина 
имеет нормальное распределение, поскольку все 
имеют нормальное распределение. Математическое ожидание 
есть нулевой вектор:
,
и дисперсионная матрица 
есть единичная матрица , поскольку:
,
поскольку – ортогональная матрица (). Таким образом, случайные величины 
некоррелированные и поскольку все имеют нормальное распределение, то следовательно случайные величины независимы.
Покажем, что 
, действительно:
.
Из определения матрицы (5.1):
| (5.2) |
Таким образом,
| (5.3) |
где все величины имеют нормальное распределение и независимы, поэтому статистика 
имеет распределение .
2) Из (5.2) следует:
Из (5.3) следует:
.
Поскольку случайные величины независимы, то следовательно независимы и .
Теорема доказана.
Теорема 5.5 позволяет построить доверительный интервал для дисперсии нормального распределение в случае, когда математическое ожидание неизвестно. Пусть – выборка из нормального распределения 
, из теоремы 5.5 следует, что статистика :
имеет распределение 
, не зависящее от неизвестных параметров и , и одновременно при всех реализациях выборки функция как функция является непрерывной и убывающей. Следовательно, статистика является центральной статистикой для . Пусть и – квантили уровней и 
распределения , тогда:
,
,
.
Таким образом, интервал
,
где и являются квантилями уровней и 
распределения , является доверительным интервалом для дисперсии с уровнем доверия . Заметим, что при тех же значениях и интервал
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно. Зарегистрироваться в сервисе
является доверительным интервалом для с.к.о. с уровнем доверия .
Формулировка теоремы Фишера о выборочном среднем и исправленной выборочной дисперсии. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией.
Теорема 5.5. (Фишер)
Пусть – выборка из нормального распределения , статистики и , тогда:
1) Статистика имеет распределение ;
2) Статистики и – независимые случайные величины.
Пусть – выборка из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией , построим доверительный интервал для с уровнем доверия .
Рассмотрим статистику 
:
 ,
| (5.4) |
, 
.
Заметим, что:
1) 
, поскольку все величины имеют нормальное распределение;
2) 
и 
независимы, поскольку в силу теоремы 5.5 статистики 
и 
независимы;
3) имеет распределение в силу теоремы 5.5.
Из 1)-3) следует, что статистика 
имеет распределение Стьюдента с 
степенью свободы 
. Кроме того, при всех реализациях выборки функция 
как функция является непрерывной и убывающей, следовательно, случайная величина является центральной статистикой для .
Пусть и – квантили уровней и распределения , тогда:
,
,
.
Поскольку распределение Стьюдента 
является симметричным относительно нуля, то для функции распределения 
справедливо равенство:
.
Отсюда следует, что 
, действительно:
.
Таким образом,
и следовательно интервал,
,
в котором 
, 
и – квантиль уровня распределения Стьюдента с степенью свободы, является доверительным интервалом для с уровнем доверия .
Построение доверительных интервалов с использованием асимптотической нормальности. Построение доверительного интервала для вероятности события (способ А до неравенства с квадратным уравнением, способы Б и В полностью). 3670
Пусть – наблюдение и случайная величина 
имеет асимптотически (при 
) нормальное распределение 
:
, при 
;
В силу асимптотической нормальности:
, при ,
тогда при больших справедливо приближенное равенство для вероятностей:
.
Пусть является квантилью распределения уровня , где – уровень доверия:
,
тогда,
.
Разрешая неравенство относительно 
, получим «приближенный» доверительный интервал:
.
Воспользуемся вышеизложенным методом для построения «приближенного» доверительного интервала неизвестной вероятности события в схеме независимых испытаний. Пусть – выборка, в которой каждая случайная величина является бинарной и принимает значение 1 с некоторой неизвестной вероятностью 
и значение 0 с вероятностью 
:
.
Требуется построить приближенный доверительный интервал для вероятности . Рассмотрим случайную величину 
:
.
К случайным величинам применима центральная предельная теорема, в соответствии с которой сумма 
имеет асимптотически (при ) нормальное распределение с параметрами 
, где:
,
,
тогда случайная величина:
имеет асимптотически (при ) нормальное распределение :
, при .
Пусть – квантиль распределения уровня , тогда при больших :
,
,
,
,
,
где . Разрешая неравенство относительно неизвестной вероятности , получим:
Пренебрегая слагаемыми с множителем 
и с множителем 
под корнем, получим приближенное неравенство:
,
,
.
Таким образом,
,
и «приближенный» доверительный интервал для вероятности имеет вид:
,
где и – квантиль распределения уровня .
|
|